2.3. Riippumattomuus ja kertolaskusääntö 2.3.1. Ehdollinen todennäköisyys E.1. Heitetään noppaa. Mikä on todennäköisyys, että saatiin 6, kun huomattiin, että ”silmiä” oli vähintään 3? A = ”saadaan 6” B = ”silmäluku vähintään 3” A | B = ”saadaan 6, kun tiedetään silmäluvun olevan vähintään 3” uusi perusjoukko B = {3, 4, 5, 6} N(A) = 1 N(B) = 4 P(A | B) = ”A ehdolla B”
Kuutosen saamisen todennäköisyys kasvoi 1/6 --> ¼ ”Saadaan kuutonen” ja ”silmäluku vähintään 3” ovat riippuvia tapahtumia (todennäköisyys muuttui ”ehdon vuoksi”). Katso kirjan esimerkki 2, sivu 56
Ehdollinen tapahtuma on sellainen, että tapahtuu A, kun tiedetään, että on tapahtunut B Tämä merkitään A | B ja luetaan ” A ehdolla B ” Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla B: P(A tapahtuu, kun tiedetään, että B tapahtuu) P(A | B) = P(A Ç B) / P(B) missä todennäköisyydet ovat lasketut koko otosavaruudessa E ja P(B) > 0
E.1. … jatkoa … A = ”saadaan 6” B = ”silmäluku vähintään 3” A B = ”6” N(AB) = 1 N(B) = 4 P(A | B) =
E.2. Pakasta otetaan kortti. Mikä on todennäköisyys, että se oli hertta, kun se oli punainen? A = hertta B = punainen N(A) = 13 N(B) = 26 P(A | B) = TAI A B = ”hertat” E = {kortit} N(E) = 52 N(AB) = 13 N(B) = 26 P(A | B) =
Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos P(A | B) = P(A) ( jos toisen sattuminen ei vaikuta toisen todennäköisyyteen)
Katso esimerkki 3, sivu 57 Pelaaja ottaa sekoitetusta pakasta kortin. Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia vai riippuvia, kun A=” saadaan ässä” ja B on a) ”saadaan pata” b) ”ei saada kakkosta” E = ”saadaan kortti” N(E) = 52 A = ”saadaan ässä” N(A) = 4
Koska P(A | B) = P(A), niin A ja B ovat riippumattomia a) N(B) = 13 N(AB) = 1 A=” saadaan ässä” ja B on a) ”saadaan pata” b) ”ei saada kakkosta” Koska P(A | B) = P(A), niin A ja B ovat riippumattomia b) N(B) = 48 N(AB) = 4 Koska P(A | B) P(A), niin A ja B ovat riippuvia