Epätäydellinen data & herkkyysanalyysi Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Kevät 2013 Esitelmä 9 Ilkka Lampio 13.02.2013 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Sisältö Herkkyysanalyysi Epätäydellinen data Sovellus Kotitehtävä Johdatus ja määritelmä IDEA ( Imprecise Data Envelopment Analysis) AR-IDEA (Assurance Region-IDEA) Sovellus Kotitehtävä

Herkkyysanalyysi

Herkkyysanalyysi - Johdanto Herkkyysanalyysia on käsitelty DEA:ssa monella tavalla Mikä vaikutus on yksittäisen DMU:n poistamisella tai lisäämisellä? Mikä vaikutus on DMU:n määrän lisäämisellä tai laskemisella? Kuinka paljon DMU:n data-arvoja voidaan muuttaa vaikuttamatta sen tehokkuusstatukseen? Käymme läpi kaksi lähestymistapaa Metric approach Multiplier model approach

Herkkyysanalyysi – Metric approach Määritetään etäisyys (vektorin pituus) kuinka kauas tehokas DMU voi siirtyä ilman että siitä tulee tehoton tai toisin päin Stabiilisuusetäisyys (Radius of stability) Tehottomalle DMU:lle: max 𝛿 𝑑 𝑖 ja 𝑑 𝑟 ovat vakioita, jotka toimivat ikäänkuin painoina Ne voidaan asettaa yhdeksi - + S.𝑒. 𝑦 𝑟0 = 𝑗=1 𝑛 𝑦 𝑟𝑗 𝜆 𝑗 − 𝑠 𝑟 −𝛿 𝑑 𝑟 , 𝑟=1,…,𝑠 + 𝑥 𝑟0 = 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 𝜆 𝑗 − 𝑠 𝑖 −𝛿 𝑑 𝑖 , 𝑖=1,…,𝑠 - 1= 𝑗=1 𝑛 𝜆 𝑗 𝑑 𝑖 = 𝑑 𝑟 =1 - +

Herkkyysanalyysi – Metric approach Edellisen sivun yhtälöt saadaan muotoon: Tehoton DMU on tehoton välillä 𝑦 𝑟0 , 𝑦 𝑟0 + 𝛿 ∗ ja 𝑥 𝑖0 , 𝑥 𝑖0 − 𝛿 ∗ jossa 𝛿 ∗ on stabiilisuusetäisyys Olettaa siis parannusta sekä panokseen että tuotokseen + 𝑗=1 𝑛 𝑦 𝑟𝑗 𝜆 𝑗 − 𝑠 𝑟 = 𝑦 𝑟0 + 𝛿 ∗ , 𝑟=1,…,𝑠 * - 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 𝜆 𝑗 − 𝑠 𝑖 = 𝑦 𝑖0 + 𝛿 ∗ , 𝑖=1,…,𝑠 * Kuva: William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software

Herkkyysanalyysi – Metric approach Tehokkaalle DMU:lle stabiilisuusetäisyys: ”Kuinka paljon tarvitsee huonontaa, että muuttuu tehottomaksi” m𝑖𝑛 𝛿 S.𝑒. 𝑦 𝑟0 = 𝑗=1,𝑗≠0 𝑛 𝑦 𝑟𝑗 𝜆 𝑗 − 𝑠 𝑟 −𝛿 , 𝑟=1,…,𝑠 + 𝑥 𝑖0 = 𝑗=1,𝑗≠0 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 𝜆 𝑗 − 𝑠 𝑖 +𝛿 , 𝑖=1,…,𝑠 - Tehokkaan DMU:n ympäristössä on aina tehokkaita ja tehottomia pisteitä etäisyydellä 𝜀>0 oli 𝜀 kuinka suuri tahansa Mikä tahansa piste kyseisen säteen sisällä on epästabiili 1= 𝑗=1,𝑗≠0 𝑛 𝜆 𝑗

Herkkyysanalyysi – Multiplier model approach Metric approach käsitteli yksinkertaistetusti vain yhtä DMU:ta kerrallaan Thompson et al. (1994) esitteli kuinka voidaan tutkia DMU:n tehokkuuksia ja muutoksia Määritellään vektori w = (u,v) = perus CCR-suhde ℎ 𝑗 𝑤 = 𝑓 𝑗 (𝑤) 𝑔 𝑗 (𝑤) = 𝑟=1 𝑠 𝑢 𝑟 𝑦 𝑟𝑗 𝑖=1 𝑚 𝑣 𝑖 𝑥 𝑖𝑗 ℎ 0 𝑤 = max 𝑗=1,…,𝑛 ℎ 𝑗 (𝑤) ℎ 0 𝑤 ≥ ℎ 𝑗 𝑤 𝑗 Tehokkaille pisteille: ℎ 0 𝑤 ∗ > ℎ 𝑗 𝑤 ∗ 𝑗≠0  𝐷𝑀𝑈 0 on tehokkaampi kuin 𝐷𝑀𝑈 𝑗 , ja se on DEA:ssa täysin tehokas ℎ 0 𝑤 ∗ = 𝑟=1 𝑠 𝑢 𝑟 𝑦 𝑟0 𝑖=1 𝑚 𝑣 𝑖 𝑥 𝑖0 > 𝑟=1 𝑠 𝑢 𝑟 𝑦 𝑟𝑗 𝑖=1 𝑚 𝑣 𝑖 𝑥 𝑖𝑗 = ℎ 𝑗 𝑤 ∗ 𝑗≠0 *

Herkkyysanalyysi – Multiplier model approach Edellisellä kalvolla kuvatun kaavan perusteella voidaan tutkia muutoksia DMU:n tehokkuudessa, jos tuotosten sekä panosten määrää muutellaan Esimerkki: Kuusi DMU:ta, joilla yksi tuotos ja kaksi panosta DMU:t 1, 2 ja 3 ovat aluksi tehokkaita ja 4, 5 ja 6 eivät ole Multiplier model: max 𝑢,𝑣 𝑧=𝑢 𝑦 0 𝑆.𝑒. 𝑢≥0 𝑣≥0 𝑢𝑌−𝑣𝑋≤0 𝑣 𝑥 0 =1 Kuvat: William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software

Herkkyysanalyysi – Multiplier model approach Ylemmässä taulukossa on esimerkin alkuperäiset tehokkuudet (vektorit w) Alkuperäistä dataa muokataan: DMU1:n, 2:n ja 3:n molempia panoksia kasvatetaan 5% ja kolmen muun DMU:n molempia panoksia pienennetään 5% Tulokset alemmassa taulukossa Ei muutoksia tehokkuusstatuksissa Panoksia edelleen muokatessa osa tehokkaat muuttuisivat tehottomiksi ja päinvastoin Kuvat: William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software

Epätäydellinen data

Epätäydellinen data - Johdanto Aikaisemmin DEA-malleissa on oletettu, että datalla on tietyt numeeriset arvot Joissakin tapauksissa data voi olla epätäydellistä Rajoitteet ja järjestykselliset riippuvuudet IDEA (Imprecise Data Envelopment Analysis) mahdollistaa täsmällisen sekä epätäydellisen datan yhdistämisen optimoinnissa Perustuu mallin muuntamiseen lineaarisesti optimoitavaksi Aikaisemmin käsitellyssä AR-mallissa rajoitteet koskivat muuttujia AR-IDEA-mallissa rajoitteet asetetaan koskemaan itse dataa

Epätäydellinen data - Johdanto Perus CCR-malli (Multiplier model) Normaalimallissa data on tunnettu Nyt data on määritelty rajoitteiden 𝐷 − , 𝐷 + suhteen Normaalimallissa painot oltava ≥0 Nyt painot määritelty rajoitteiden 𝐴 − , 𝐴 + suhteen Yläosa siis sama kuin ccr multplier Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

Epätäydellinen data - Johdanto IDEA-mallia varten edellä esitetty optimointi ongelma ei ole lineaarinen (eikä konveksi) Malliin tarvitsee tehdä muutoksia, jotta se pystytään ratkaisemaan lineaarisella optimoinnilla Muutokset: Skaalaukset Muuttujavaihdokset: 𝜇 𝑟 𝑦 𝑟𝑗 → 𝑌 𝑟𝑗 𝜔 𝑟 𝑥 𝑖𝑗 → 𝑋 𝑖𝑗

IDEA – Esimerkki Yhdistelmä täsmällisestä (y1 ja x1) sekä epätäydellisestä (y2 ja x2) datasta (Rajoitteet ja järjestys-preferenssi) Ε ei tarvitse määritellä eksplisiittisesti Arnold et al. (1998) AR ehto ( 𝐴 − , 𝐴 + ) poistettu Positiivisuusehto painoille ε > 0 ”Non-Archimedean” Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

IDEA – Esimerkki Tuotos 1: Täsmällinen ( 𝐷 1 ) Tuotos 2: Epätäydellinen ( 𝐷 2 ) Panos 1: Täsmällinen ( 𝐷 1 ) Panos 2: Epätäydellinen ( 𝐷 2 ) Täsmällisen datan osalta malli voitaisiin ratkaista ”normaalisti” Epätäydellisellä datan tarkkaa arvoa ei tiedetä etukäteen Epälineaarinen ongelma Tarve muokata mallia! - + Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

IDEA – Mallin muokkaaminen Esitettyä IDEA-mallia tarvitsee muokata siten, että se on ratkaistavissa lineaarisella optimoinnilla Kaksivaiheinen prosessi: 1. Skaalaus muutokset Käytännössä skaalataan data kaavalla: 2. Muuttujavaihdokset Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

IDEA – Mallin muokkaaminen Vaihe 1: Skaalaus Myös järjestyksellinen y2 skaalataan Muutokset y1, y2 ja x1:ssä Muutokset optimointimallissa Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

IDEA – Mallin muokkaaminen Vaihe 2: Muuttujavaihdokset Rajoitteet 𝐷 − , 𝐷 + korvattu rajoitteilla 𝐵 − , 𝐵 + , koska malliin on laitettu uudet muuttujat Vaiheiden 1 ja 2 jälkeen IDEA-malli on valmis: Esim. Y(12) = 0,5Y(11) koska y(12) = Y(12) / Y(11) ja Y(11) = μ(1) >= ε Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

IDEA – Mallin muokkaaminen Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

IDEA – Mallin muokkaaminen Edellisen sivun mallin lopulliset IDEA-tehokkuudet: Toisen sarakkeen ratkaisussa 𝜀=0 Kolmannen sarakkeen ratkaisuissa 𝜀= 10 −6 Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

AR-IDEA Lähtökohta muuten sama kuin IDEA-mallissa, mutta lisätään painojen rajoitteet 𝐴 − , 𝐴 + AR-IDEA malli muokataan lineaarisesti optimoitavaksi kuten IDEA-malli Muuttujavaihdokset: Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

AR-IDEA Muuttujavaihdokset suoritettu Datan rajoitteet 𝐷 + , 𝐷 − korvattu rajoitteilla 𝐵 − , 𝐵 + AR-rajoitteet 𝐴 − , 𝐴 + on korvattu rajoitteilla 𝐵 − , 𝐵 + Tuloksena lineaarisella optimoinnilla ratkaistavissa oleva malli Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

AR-IDEA - Esimerkki IDEA-mallin esimerkkiin voidaan lisätä seuraavat AR-rajoitteet: 𝐵 − = 2 𝑌 23 ≤ 𝑌 11 ≤3 𝑌 23 𝐵 + = 𝑋 23 ≤ 𝑋 14 ≤2 𝑋 23 ( 𝐴 + = 2≤ 𝜇 1 𝜇 2 ≤3 ) ( 𝐴 − = 1≤ 𝜔 1 𝜔 2 ≤2 ) Eli painokertoimille on asetettu rajoitteet Tuloksien kolmanteen sarakkeeseen on laskettu ns. AR-tehokkuus Eroaa selvästi IDEAsta Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607

Sovellus Korealainen teleyhtiö

Sovellus - Johdanto Tarkoituksena tutkia korealaisen teleyhtiön toimipaikkojen tehokkuutta IDEA- sekä AR-IDEA-malleilla Data on epätäydellinen Sisältää sekä järjestyksellisiä riippuvaisuuksia että rajoitteita Epälineaarinen  muokkaus lineaariesti optimoitavaksi Kahdeksan toimipistettä, joilla kolme tuotosta ja kolme panosta Panokset: Työntekijät, kulut ja johdon kokemus (järjestyksellinen) Tuotokset: Liikevaihto, toimintahäiriöt, puheluhäiriöt Maantieteellinen vaikutus puheluhäiriöihin  rajoitteet ( 𝑌3 ′ )

Sovellus - Data Kangnung (vuoristo) Seoul (korkeat talot) Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus – IDEA-mallin rakentaminen Muodostetaan IDEA-malli normaalisti Malliin täytyy tehdä samat muutokset kuin aiemmissa esimerkeissä: Datan skaalaus Muuttujavaihdokset Kun malli on saatu lineaarisesti optimoitavaan muotoon, voidaan laskea tehokkuudet Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus – IDEA-mallin rakentaminen Oikealla muokattu malli Alla laskettu tehokkuudet 1. sarake: käytetty Y3, ε=0 2. sarake: käytetty Y3’, ε=0 3. sarake: käytetty Y3’, ε= 10 −3 Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus – IDEA-malli Voimme tehdä käänteisen muuttujavaihdoksen ja laskea alkuperäisen datan ja painot (seuraava kalvo) Voimme myös tarkastella DMU:n tehokkuuksien herkkyyttä tuotos Y3’:n rajojen muuttamiselle Esim. DMU7 Kuvasta nähdään kuinka tehokkuus muuttuu tuotoksen Y3 arvon muutoksena  Rajoitteilla suuri vaikutus yksikön tehokkuuspisteisiin!

Kotitehtävä O Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus – IDEA-malli Tarkastellaan vielä panosta X3 Edellisen kalvon taulukosta huomaamme, että se saa IDEA-mallissa käytännössä arvoksi nollan tai lähes yhden Siirrymme käyttämään tarkkaa järjestämistä (strict ordering) Määritellään: η on positiivinen skalaari, joka voidaan määritellä erikseen Nyt: 𝜂 = min 𝑗 𝜂 𝑗 =0,125 Muutos weak order  strict order aiheuttaa tehokkuuksiin merkittäviä muutoksia * Vihreällä weak order, oranssilla strict order Η = eeta Kuva: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus – AR-malli Tuodaan malliin johdon asettamia kustannuspreferenssejä Vaikuttavat painoihin 𝜔 𝑖 ja 𝜇 𝑟 Asetetaan “varjohinnat” työvoimalle, toimintahäiriöille ja puhelu-häiriöille Preferenssit on esitetty rajoitteina, joilla on ylä- ja alarajat Uudet AR-rajoitteet: Vihreän nuolen jälkeen malliin skaalatut Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus – AR-IDEA-malli Painojen rajoitteille tulee myös tehdä muuttujavaihdokset  Lisäämällä uudet rajoitteet malliin, on AR-IDEA-malli valmis ja lineaarisesti optimoi- tava Tehokkuudet taulukossa Taulukossa näytetään X3:n heikon sekä tarkan järjestä- misen vaikutukset tehokkuuteen AR-rajoite ei muuttanut yksiköiden tehokkuuden statuksia Ekan sarakkeen arvot on samat koska input3:een ei ole shadow pricea (järjestyksellinen muuttuja) Kuvat: Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820

Sovellus - Yhteenveto AR-IDEA-malli on käyttökelpoinen kuvaamaan tilanteita, joissa data on epätäydellinen Rajojen asettaminen panoksille/tuotoksille vaikuttaa suuresti yksiköiden tehokkuuteen Järjestyksellisten panosten/tuotosten osalta on merkittävää miten yksiköiden väliset erot asetetaan (weak ordering vs. strict ordering)

Lähteet & lisätietoa Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 1999. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA, Management Science 45/4, s. 597-607 Cooper, W.W., Park, K.S., Yu, G., 2001. An illustrative application of IDEA to a Korean mobile telecommunication company, Operations Research 49/6, s. 807-820 William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software

Kotitehtävä Taulukossa 1 on esitetty 6 DMU:ta ja taulukossa 2 on tehokkaiden kolmen ensimmäisen suhteelliset tehokkuudet (vektorit (w)) Esitä DMU:t graafisesti (akseleina x1/y ja x2/y) Muokkaa dataa siten, että teet 10% lisäyksen DMU (1, 2 ja 3) molempiin panoksiin, ja 10% vähennyksen DMU (4, 5 ja 6) molempiin tuotoksiin pitäen tuotokset samoina 2.1. Laske taulukon 2 mukaiset suhteelliset tehokkuudet DMU:lle 1, 2 ja 3. Muuttuivatko tehokkaat yksiköt? Esitä uudet DMU:t graafisesti. Tee kuten kohdassa 2, mutta tee 15% lisäys ja 15% vähennys 3.1. Toimi kuten kohdassa 2.1. Vihje: Voit käyttää painojen ratkaisemiseen kotitehtävän 0 CPLEX-mallia (muokattuna)

Kotitehtävä Taulukko 1 Taulukko 2

Kiitos!