2.4.3. Toistokoe Sama koe toistuu monta kertaa. Kokeet ovat toisistaan riippumattomia. Toistokokeen todennäköisyyksien laskeminen: Sama koe toistuu n kertaa. Ilmiö tapahtuu kokeessa todennäköisyydellä p P(kaikki n koetta antavat suotuisan tuloksen) = pn.
E.2. Noppaa heitetään 4 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan a) aina muu kuin 6 b) ainakin yksi 6? k =”saadaan kuutonen” p(k) = 1/6 n = 4 k = ”saadaan muu kuin kuutonen” p(k) = 5/6 a) P(saadaan aina muu kuin kuutonen) = P(k, k, k, k) = (5/6)4 0,48 b) P(saadaan ainakin 1 kuutonen) = 1 – P(0 kuutosta) 1 – 0,48 = 0,52
E.3. Monestiko on heitettävä noppaa, jotta saataisiin tulos ”ainakin yksi 6” todennäköisyydellä ³ 0,8? P(saadaan ainakin yksi kuutonen) = 1 – P(0 kuutosta) = 1 – (5/6)n 1 – (5/6)n = 0,8 n = 8,8274... V: 9
E.4. Björn Borg voittaa erän tenniksessä todennäköisyydellä 0,7. Hän johtaa erin 2 - 1, kun alkaa sade. Miten 100 000 dollarin voitto on jaettava, jos peliä ei voi jatkaa ja voittoon tarvitaan 3 erävoittoa? P(X voittaa) = 0,3 0,3 = 0,09 P(BB voittaa) = 1 – P(X voittaa) = 1 – 0,09 = 0,91 V: BB:lle 91 000 $, vastustajalle 9000 $
2.5. Binomitodennäköisyys n-kertainen toistokoe Sama koe toistuu n kertaa. Todennäköisyydet ovat joka kerralla täysin samat. Yleensä tällöin halutaan tietää millä todennäköisyydellä näistä n kerrasta on k kpl suotuisia. Todennäköisyyden laskeminen n-kertaisessa toistokokeessa P(n:ssä toistossa on k suotuisaa) = · pk · (1 - p)n-k missä n on toistojen määrä, k on suotuisten tapausten määrä, p on suotuisan tapahtuman todennäköisyys. n k
E.1. Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan kolme a) kuutosta b) samaa? k = kuutonen p(k) = 1/6 n = 5 k = 3 a) 0,032 P(3 kuutosta) = b) P(kolme samaa) = 6 · 0,03215 0,192
E. 2. Rahaa heitetään 7 kertaa E.2. Rahaa heitetään 7 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan 4 kruunaa? p(kruuna) = ½ n = 7 k = 4 P(4 kruunaa) = = 0,27
E.3. Pakasta otetaan kortti, joka laitetaan takaisin. Millä todennäköisyydellä 5. kerralla saadaan kolmas pata? P(viidennellä nostolla 3. pata) = 0,05