T Elektroniikan mittaukset: Luento 6

Esitys aiheesta: "T Elektroniikan mittaukset: Luento 6"— Esityksen transkriptio:

1 T361103 Elektroniikan mittaukset: Luento 6
Vinski Bräysy Huone 3342

2 Mittausepävarmuus

3 Mittausepävarmuus Mittaustulos ei ole koskaan täysin oikein
Mittaustulos on arvio mitattavasta arvosta Mittaustuloksen ja mitattavan arvon ero on mittausvirhe Mikäli mittausvirhe tiedettäisiin se tietysti korjattaisiin! Mittausepävarmuus on arvio siitä, kuinka suuri mittausvirhe voi olla Kalibrointitoiminnassa ja tarkkuusmittauksissa, mittaustulokseen tulee aina liittää mittauksen epävarmuus

4 Virheiden luokittelu Dynaaminen virhe Staattinen virhe
Virhe, joka syntyy, kun mittaus ei ehdi seurata mitattava signaalia Staattinen virhe Virhe, joka jää jäljelle mittausjärjestelmän asetuttua Satunnaisvirhe: hajonta (keskiarvo = 0) Systemaattinen virhe: vakiovirhe (keskiarvo ≠ 0) Karkea virhe: väärä lukema/ei lukemaa Virheiden korjaaminen

5 Virheiden luokittelu Karkean virheen lähteitä
Lukemavirhe (Asteikon väärä tulkinta) vialliset mittalaitteet mittauksen aikana esiintyvät hetkelliset häiriöt Karkeitten virheitten eliminoimiseksi tulisi mittaus toistaa useita kertoja Virheiden korjaaminen

6 Virheiden luokittelu Systemaatiset virheet
Pyrkivät vaikuttamaan aina samaan suuntaan Väärä kalibraatio Reaktioaika (ajan mittaus) Vaikea havaita ja poistaa Vaihdetaan välillä mittaajaa, mittalaitetta, menetelmää ja ajankohtaa Virheiden korjaaminen

7 Virheiden luokittelu Satunnaiset virheet
Ovat samalla todennäköisyydellä positiivisia tai negatiivisia Vaihteleva täysin satunnaisesti kokeesta toiseen Ne voivat johtua mittauslaitteesta mittausmenetelmästä tai mitattavan ilmiön satunnaisuudesta Satunnaisten virheiden aiheuttamaa epätarkkuutta voidaan pienentää toistamalla mittaus useita kertoja, jolloin virheiden jakauma saadaan selville Virheiden korjaaminen

8 Virheiden luokittelu Mittaustuloksen sisäinen tarkkuus on hyvä, jos satunnaisten virheiden osuus on pieni Tuloksen ulkoinentarkkuus on hyvä, jos systemaattisten virheiden osuus on pieni. Virheiden korjaaminen

9 Mittausepävarmuuden laskeminen
Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the expression of uncertainty in measurement (1993) Akkreditoiduille kalibrointilaboratorioille käytössä yksinkertaisempi versio EA-4/02 (

10 Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Virhearviossa määritetään estimaatit mittauksen virhelähteille, ja lasketaan ne yhteen Antaa ylärajan mittausvirheelle Ei sovellu kalibrointitoimintaan Epävarmuuslaskelma: Määritetään estimaatit mittauksen virhelähteille ja korjataan ne tuloksiin Lasketaan korjausten epävarmuudet neliöllisesti yhteen Antaa luotettavuusvälin, jolla mitattava suure on tietyllä tilastollisella todennäköisyydellä (Yleensä 95%).

11 Absoluuttinen virhe Suureen F mittauksen tulos voidaan esittää muodossa F ± |ΔF |, missä |ΔF| on suureen absoluuttinen virhe. Esimerkki 1. Bob Beamon loikkasi Mexico Cityn olympialaisissa vuonna 1968 niin pitkän haamuhypyn, ettei sitä pystytty mittaamaan optisilla mittauslaitteilla, vaan mittaamiseen käytettiin perinteistä mittanauhaa. Tulos oli 890 cm. Jos oletetaan, että mittauksen tarkkuus oli 0,5 cm, tieteellistä täsmällisyyttä noudattaen valotaululla olisi tullut loistaa tulos 890,0 cm ± 0,5 cm.

12 Suhteellinen virhe Suhteellinen virhe on absoluuttisen virheen ja mittaustuloksen suhteen itseisarvo: Suhteellinen virhe =|F/ΔF| , prosentteina|F/ΔF |×100% Esimerkki 2. Bob Beamon mittasi kotona viivoittimella kultamitalinsa halkaisijaksi 56,0 mm. Mittaustarkkuus viivoittimella mitattaessa on 0,5 mm, joten mittaustulos esitetään muodossa 56,0 mm ± 0,5 mm. Tämän mittauksen absoluuttinen virhe on paljon pienempi kuin ennätyshypyn mittauksessa (0,5 cm). Suhteellinen virhe on sen sijaan paljon suurempi (tässä 1 %, hypyssä 0,06 %). Edelliset tulokset voidaan ilmoittaa suhteellisten virheiden avulla muodossa 56,0 mm ± 1 % ja 890,0 cm ± 0,06 %

13 Epävarmuuskomponentteja
Mittalaitteesta aiheutuvat Kalibrointi Aika kalibroinnista Lineaarisuus Taajuusriippuvuus Resoluutio Mittalaitteen stabiilius Käyttöedellytykset Lämpötila, kosteus, paine Sähköiset häiriöt Verkkojännite Erityisesti näiden vaihtelu mittauksen aikana! Käyttäjästä johtuvat (Lähinnä analogisissa mittalaitteissa) Mittarin asento Lukematarkkuus Alkuasetukset Mittauskohteesta aiheutuvat Mittarin vaikutus mittauskohteeseen Kuormitus Maasilmukat, vuotovirrat, mittajohdot, epäsovitukset Mitattavan ilmiön stabiilius

14 Epävarmuuskomponenteista
Epävarmuuskomponenteista on tunnettava jakauma, jotta saadaan keskihajonta σ (stantardi poikkeama) Useimmat epävarmuuskomponentit noudattavat normaalijakaumaa tai tasajakumaa. Jotta epävarmuuskomponentteja voidaan yhdistää on niistä selvitettävä varianssi (tai keskihajonta), joko laskemalla tai arvioimalla Tasajakautuneesta (välillä x1…x2) suureesta saadaan varianssi ja keskihajonta kaavoilla σ2 = (x1 –x2)2/12 , σ = (x1 –x2)/2√3

15 Normaalijakauma Pääsääntöisesti epävarmuuskomponentit ovat normaalijakautuneita (tai oletetaan olevan) 68% todennäköisyydellä yksittäinen mittaus osuu välille ±σ. Yleensä normaalijakautuneita: Kalibrointitodistuksesta saatava epävarmuus Mittauksen toistuvuus Normaalijakauman tiheysfunktio

16 Normaalijakauma Normaalijakauma eri σ:n arvoilla.
Normaalijakauman tiheysfunktio Normaalijakauma eri σ:n arvoilla. Normaalijakauman välille [xo - σ, xo + σ] jäävä alue.

17 Normaalijakauma Esimerkki Avaruudesta tulee maanpinnalle
(kuvitteellisia) hiukkasia, joiden nopeus noudattaa normaalijakaumaa missä vo = 520 m/s ja σ = 100 m/s. a) Mikä on nopeuden todennäköisin arvo? b) Mikä on todennäköisyys sille, että nopeus on välillä 500 m/s – 501 m/s? c) Miten lasketaan todennäköisyys sille, että nopeus on välillä 300 m/s – 500 m/s? Normaalijakauman tiheysfunktio

18 Normaalijakauma Ratkaisu:
a) Nopeuden todennäköisin arvo on odotusarvo, 520 m/s. b) Koska väli 500 m/s – 501 m/s on hyvin pieni väli verrattua standardipoikkeamaan σ, todennäköisyys P(500 m/s, 501 m/s) voidaan laskea hyvällä tarkkuudella yhtälöllä Normaalijakauman tiheysfunktio

19 Normaalijakauma c) Väli 300 m/s – 500 m/s ei ole pieni verrattuna
standardipoikkeamaan σ, joten em. yhtälö ei anna tarkkaa tulosta. Väli kannattaa jakaa standardipoikkeaman suhteen pieniin (esim. yhden yksikön levyisiin) osaväleihin. Kunkin osavälin todennäköisyys voidaan sitten laskea em yhtälöllä , ja koko välin todennäköisyys saadaan summaamalla osavälien todennäköisyydet. Jätetään tämä lasku kotitehtäväksi. Normaalijakauman tiheysfunktio

20 Tasajakauma Yleensä tasajakautuneita epävarmuuskomponentteja:
Digitaalisen mittalaitteen resoluutio Valmistajan spesifikaatiot Itse arvioidut suureet (Mä luulen kyl’ et’ se olis tällä välillä …) Tasajakauman tiheysfunktio on vakio esim. nopan heitossa 1/6

21 Vaikutus mittaustulokseen
Epävarmuuskomponentin vaikutus mittaustulokseen voidaan arvioida mittausyhtälöstä osittaisdifferentiaaleilla Useimmiten helpoin tapa on käyttää suhteellisia epävarmuuksia Kerrottavien ja jaettavien suureiden suhteelliset epävarmuudet aiheuttavat samansuuruisen suhteellisen epävarmuuden mittaustulokseen u(Y)/Y = u(x)/x Mikäli suure on mittausyhtälössä korotettu potenssiin n on aiheutuva suhteellinen epävarmuus n-kertainen Mittaustulos Y riippuu mitattavista suureista xi seuraavasti: Y(x1, x2, x3, x4) = x1*x2/(x3*x4n) • Suureet x1, x2 ja x3 aiheuttavat kukin Y:hyn yhtäsuuren epävarmuuskomponentin. Esim. 0,5 % epävarmuus x1:ssä aiheuttaa 0,5 % epävarmuuden Y:hyn. • x4:n aiheuttama epävarmuuskomponentti u(Y)/Y = n*u(x4)/x4 • Lähes kaikki mittausyhtälöt koostuvat kerto- jako ja potenssilaskuista!

22 Komponenttien yhdistäminen
Kun epävarmuuskomponenttien vaikutukset mittaustulokseen on selvitetty, voidaan kokonaisepävarmuus laskea suhteellisten epävarmuuskomponenttien neliösummana (samansuuruiset suhteelliset vaikutukset) u(Y)/Y = √∑(ni*u(xi) /xi) 2, missä ni on xi:n potenssi Epävarmuuskomponenttien on oltava toisistaan riippumattomia Lopputulos on yleensä normaalijakautunut, vaikka mukana olisi tasajakautuneita komponentteja! (Helppo testata nopilla)

23 Esimerkki: Agilent Table 4-2. Amplitude uncertainties when measuring a 1 GHz signal Source of uncertainty Absolute uncertainty of 1 GHz, –20 dBm signal E4402B E4440A Absolute amplitude accuracy ±0.54 dB ±0.24 dB Frequency response ±0.46 dB ±0.38 dB Total worst case uncertainty ±1.00 dB ±0.62 dB Total RSS uncertainty ±0.69 dB ±0.44 dB Typical uncertainty ±0.25 dB ±0.17 dB Specifications describe the performance of parameters covered by the product warranty over a temperature range of 0 to 55 °C (unless otherwise noted). Each instrument is tested to verify that it meets the specification, and takes into account the measurement uncertainty of the equipment used to test the instrument. 100% of the units tested will meet the specification. Some test equipment manufacturers use a “2 sigma” or 95% confidence value for certain instrument specifications. When evaluating data sheet specifications for instruments from different manufacturers, it is important to make sure you are comparing like numbers in order to make an accurate comparison Typical performance describes additional product performance information that is not covered by the product warranty. It is performance beyond specification that 80% of the units exhibit with a 95% confidence level over the temperature range 20 to 30 °C. Typical performance does not include measurement uncertainty. During manufacture, all instruments are tested for typical performance parameters. Nominal values indicate expected performance, or describe product performance that is useful in the application of the product, but is not covered by the product warranty. Nominal parameters generally are not tested during the manufacturing process.

24 Stabiilisuus Stabiilius
Mittauslaitteen kyky säilyttää metrologiset ominaisuutensa muuttumattomina ajan kuluessa Termejä epästabiilius ja stabiilius käytetään usein ristiin Stabiilius riippuu käytetystä ajanjaksosta ja käyttöolosuhteista. Valmistajat ilmoittavat stabiiliuden eri tavoin, esimerkiksi μV/vuosi, tms.

25 Tarkkuus Sanalla tarkkuus voidaan yleensä tarkoittaa lähes mitä tahansa. Seuraavat termit menevät puhekielessä täysin sekaisin Accuracy (tarkkuus, paikkansapitävyys) Mittauslaitteen kyky antaa vasteita, joiden keskiarvo on lähellä tosiarvoa Precision (tarkkuus, täsmällisyys) Yleistermi jokakuvaa mittauksen riippumattomuutta satunnaisistavaihteluista. Graduation (astejako, asteikko) kahden peräkkäisen mitta-arvon välinen ero Repeatability (toistuvuus) Saman mittaussuureen peräkkäisten mittaustulosten yhtäpitävyys, kun mittaukset suoritetaan samoissa olosuhteissa Reproducibility (uusittavuus) Saman mittaussuureen tulosten yhtäpitävyys, kun mittaukset suoritetaan muuttuneissa olosuhteissa Tarkkuus: - jos satunnaisvirheet pieniä eli mittausten hajonta pientä, on järjestelmän sisäinen tarkkuus hyvä (engl. accuracy) - jos mittaus antaa keskimäärin oikean tuloksen, vaikka mittauksissa on hajontaa, on systemaattinen virhe pieni ja järjestelmän ulkoinen tarkkuus hyvä (engl. precision) Esimerkki: Ammunta/tikanheitto - sisäinen tarkkuus: osumat kasassa - ulkoinen tarkkuus: osumat keskellä

26 Muita käsitteitä Dynaaminen alue Erottelukyky Herkkyys
Mittausalueen alarajan ja ylärajan välinen suhde Mittausalueen alaraja Pienin mitattavissa oleva mittaussuureen arvo. Määräytyy järjestelmän häiriötasosta, esimerkiksi kohinasta Mittausalueen yläraja Suurin mitattavissa oleva mittaussuureen arvo. Määräytyy järjestelmän sietokyvystä Erottelukyky Mittauslaitteen kyky reagoida mittaussuureen pieniin muutoksiin. Herkkyys Näyttämän muutoksen suhde mittaussuureen muutokseen, esim. lämpötila-anturille 2 Ω / 1 ºC.

27 Muita käsitteitä Hystereesi (Epä)lineaarisuus
Mittauslaitteen näyttämien ero, kun mitataan suureen samaa arvoa muutossuunnan ollessa toisaalta suureneva ja toisaalta pienenevä (Epä)lineaarisuus Intergraalinen epälineaarisuus (INL) Arvon xn poikkeama suorasta Differentiaalinen epälineaarisuus (DNL) Erotuksen xn - xn-1 poikkeama teoreettisesti lasketusta erotuksesta Monotonisuus xn > xn-1 kaikilla n:n arvoilla (tai xn < xn-1)

28 Lopputuloksen esittämistarkkuus
Mittauksen tulosta esitettäessä otetaan mukaan kaikki merkitsevät numerot Numeroa pidetään merkitsevänä, jos sen epätarkkuus on enintään 15 yksikköä Virheeseen otetaan mukaan yhtä monta desimaalia kuin lopputulokseen, mutta virhe pyöristetään aina ylöspäin. Esimerkki: Kappaleen massaksi mitattiin m = kg ± 1452 kg. Esitä tulos oikealla tarkkuudella.

29 Lopputuloksen esittämistarkkuus
Ratkaisu: 1. numeron (1) epätarkkuus on 0,1452 yksikköä => otetaan mukaan. 2. numeron (8) epätarkkuus on 1,452 yksikköä => 3. numeron (4) epätarkkuus on 14,52 yksikköä => 4. numeron (2) epätarkkuus on 145,2 yksikköä => ei oteta mukaan. Pyöristetty lopputulos on siis m = kg ja pyöristetty virhe Δm = kg. Lopputulos voidaan siis periaatteessa esittää muodossa m = kg ± kg. Esitysmuoto ei kerro onko nollat merkitseviä, siksi tulos kannattaa esittää muodossa m = 18,4 * 103 kg ± 1,5 * 103 kg.

30 Virheenarviointi niissä tapauksissa, joissa tulokseen vaikuttaa vain satunnaisia virheitä, voidaan mittaustuloksen absoluuttinen virhe laskea tilastollisilla menetelmillä. Usein absoluuttiseksi virheeksi valitaan mittalaitteen lukematarkkuus. Esimerkiksi viivoittimesta voidaan lukea tulos 1 mm:n tarkkuudella, joten absoluuttinen virhe on ± 0.5mm. Työntömittaa voidaan lukea 0.1 mm:n tarkkuudella, jolloin absoluuttinen virhe ± 0.05 mm. Absoluuttiseksi virheeksi voidaan ilmoittaa myös suurin poikkeama keskiarvosta.

31 Virheenarviointi Mittaustulosten perusteella voidaan laskea muita suureita. Miten näiden suureiden virhe voidaan arvioida? Tarkastellaan esimerkkinä ympyrän pinta-alan määrittämistä: Ympyrän halkaisijaksi on mitattu s = 75.0 mm ± 0.5 mm. Ympyrän pinta-ala on A = π(s/2)2 , joten arvoa 75.0 mm käyttäen saadaan tulokseksi mm2. Halkaisijan pienimmällä (74.5 mm) ja suurimmalla (75.5 mm) arvollalaskettaessa päädytään lukuihin mm2 ja mm2

32 Virheenarviointi Pinta-alan A virheeksi ΔA voidaan valita näiden lukujen ja alkuperäisen arvon erotus, joka on ( – ) mm2 = 58.7mm2 tai ( – ) mm2 = 59.1 mm2. Valitaan ΔA:ksi näistä arvoista suurempi. Pyöristysten jälkeen pinta-ala kirjoitetaan muodossa A = 4420 mm2 ± 60 mm2.

33 Virheenarviointi Periaatteessa tähän tyyliin virhe arvioidaan myös sellaisissa laskuissa, joissa suure f riippuu useammasta muuttujasta, eli f = f(x, y, z, …). Käytännössä se on kuitenkin liian monimutkaista, koska ensin funktion arvo pitäisi ratkaista kaikkien eri muuttujien suurimpien ja pienimpien arvojen kombinaatioilla, ja sitten tuloksia pitäisi verrata alkuperäiseen arvoon, ja virheeksi täytyisi valita erotuksista suurin

34 Virheenarviointi Oletetaan, että funktio f on monen toisistaan riippumattoman suureen x, y, z, … funktio, ja näiden suureiden virheiden ylärajat ovat Δx, Δy, Δz, … . Argumenttien muutoksien Δx, Δy, Δz, … aiheuttamaa f(x, y, z, …):n muutosta voidaan approksimoida kokonaisdifferentiaalilla Lausekkeessa esiintyvät ∂f/∂x, ∂f/∂y ja ∂f/∂z ovat funktion osittaisderivaattoja x:n, y:n ja z:n suhteen. Osittaisderivaatta tarkoittaa, että derivoidaan ainoastaan yhden muuttujan suhteen pitäen muita muuttujia vakioina. Virheen ylärajaksi saadaan:

35 Virheenarviointi Esimerkki. Pallonmuotoisen
wappuilmapallon sisällä oli heliumia paineessa P = (1,5 ± 0,1)*105 Pa (noin 1,5 atm). Insinööri mittaa pallon ympärysmitaksi s = 88,0 cm ± 0,5 cm. Vappusää oli perinteisen kolea, lämpötila oli T = 283 ± 1 K (10°C). a) Mikä oli heliumin ainemäärä pallossa? b) Miten mittaustarkkuutta voisi parantaa?

36 Virheenarviointi

37 Virheenarviointi