Stokastinen varastoteoria

Esitys aiheesta: "Stokastinen varastoteoria"— Esityksen transkriptio:

1 Stokastinen varastoteoria
Vesistösuunnittelu Ari Jolma

2 Varastoteorian tavoite
Säännöstelyaltaiden stokastisen varastoteorian tavoitteena on kyetä laskemaan altaassa olevan vesimäärän jakauma (suoraan) altaan tulovirtaaman ja säännöstelyn funktiona -> riskianalyysi patojen suunnittelun yhteydessä -> säännöstelyohjeiden ja –suunnitelmien laadinta ja niiden riskianalyysi

3 Tilansiirtomatriisi Esim. sateinen päivä
tänään on sateinen päivä tänään on poutapäivä eilen oli sateinen päivä todennäköisyys = 0,7 todennäköisyys = 0,3 eilen oli poutapäivä todennäköisyys = 0,2 todennäköisyys = 0,8 Oletus: päivä on joko sateinen tai poutainen, kolmas vaihtoehto on poissuljettu

4 Eri tapahtumien todennäköisyydet (tila)
Sää tänään on satunnaismuuttuja (vektori pt). Jos tänään sataa (todennäköisyys että on sadepäivä = 1) niin tilavektorin arvo on [1 0]. Tilansiirtomatriisi P on 0,7 0,3 0,2 0,8 Huomisen sää voidaan nyt ennustaa: pt+1 = pt P

5 Stationaarinen tila = Tilan todennäköisyysjakauma äärettömän kaukana nykyhetkestä Mikä on sateisen päivän todennäköisyys? päivä 1 päivä 2 päivä 3 sateinen päivä 1 1*0,7+0*0,2=0,7 0,7*0,7+0,3*0,2=0,55 poutapäivä 0 1*0,3+0*0,8=0,3 0,7*0,3+0,3*0,8=0,45 päivä päivä 4 sateinen päivä 0,55*0,7+0,45*0,2=0,475 0,475*0,7+0,525*0,2=0,4375 poutapäivä 0,55*0,3+0,45*0,8=0,525 0,475*0,3+0,525*0,8=0,5625

6 (jatkoa...) Stationaarinen tila
Mikä on sateisen päivän todennäköisyys? huom: prosessin muisti on yksi vrk mutta se, että tänään on sadepäivä vaikuttaa paljon pidemmälle tulevaisuuteen 1 0.9 0.8 Poutapäivän todennäköisyys 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 Sadepäivän todennäköisyys 0.2 0.1 1 5 10 Päiviä nykyhetkestä

7 Riski Riski on seurausta tulovirtaamaan liittyvästä epävarmuudesta
tulovirtaamasta tiedetään vain sen aikaisempi toteutunut historia historiasta voidaan estimoida tilastollisia suureita mutta on epävarmaa ovatko ne muuttumattomia esim. ilmastonmuutos, muutokset valuma-alueella lisäksi tulovirtaama on joka tapauksessa satunnaismuuttuja Lisäksi juoksutuksista ja säännöstelystä yleensä (altaan vedenkorkeus) saatavaan hyötyyn voi liittyä epävarmuuksia

8 Tavoitejuoksutus Tavoitejuoksutus  todellinen menovirtaama
Todellinen menovirtaama on satunnaismuuttuja Juoksutussäännön pitää määritellä mitä tehdään jos tavoitejuoksutusta ei voida toteuttaa

9 Riskin kvantifiointia
Esim. altaasta halutaan vettä vuoden aikana vähintään 100 Mm3 mutta siitä saadaan 80 Mm3 Säännöstelyyn liittyvä epäonnistumisen riski on toteutunut Epäonnistumisen suuruus on 20 Mm3 Allas on ollut tyhjä (tai sen vedenkorkeus on ollut alle vedenottorajan), kun vettä on tarvittu Epäonnistumisen riskin käänteispuoli (1-P(epäonnistuminen)) on luotettavuus Epäonnistumisen riskin todennäköisyys (ja suuruus) voidaan laskea kun altaan varasto tunnetaan

10 Historiaa 1. empiirinen kausi
Hazen 1914 koosti 300 vuoden pituisen virtaama-aikasarjan 14 amerikkalaisen joen havainnoista laski kuinka alkujaan täysi ja äärettömän kokoinen allas käyttäytyy kyseisen tulovirtaaman ja vakiojuoksutuksen seurauksena muokkasi tuloksista taulukoita joissa on altaan tyhjenemisen riski tulovirtaaman ominaisuuksien, altaan koon ja juoksutuksen funktiona

11 Rippl 1883 Summakäyrämenetelmä
Nykyisin myös puhdas altaan toiminnan simulointi ->varasto–antoisuus (storage—yield) analyysi ->tilastollisen analyysin avulla voidaan laskea varaston todennäköisyysjakauma, ja tehdä riskianalyysia

12 Historiaa: (Teoreettinen) stokastinen varastoteoria
Keksittiin 1930-luvulla Neuvostoliitossa Savarenski, Kritski ja Menkel (1940) sekä 1950-luvulla lännessä Moran (1954) Ei empiriaa vaan olettaen tietty stokastinen malli tulovirtaamalle ja deterministinen malli juoksutuksille, laskettava altaan varaston jakauma suoraan

13 Teoreettinen stokastinen varastoteoria käytännössä
Varasto diskretoidaan Tulovirtaama ja juoksutus käsitellään vuotuisena tai se jaetaan vuoden sisällä osiin (kuukausittaisiin tai jopa viikottaisiin arvoihin) Juoksutussääntö: miten juoksutus määräytyy

14 Juoksutussääntö dS/dt = i(t)-o(t) St+1-St =t(It-Ot) Maksimivarasto Kt
Tavoitejuoksutus Qt Perus/normaalisääntö: Qt = Q Lineaarinen sääntö: Qt = aSt Yleisesti: Qt = f(t,St ,St+1 ,It ,...)

15 Diskretoinnista Savarenskin tapa Moranin tapa
väli 0..K jaetaan n-1 väliin, joiden koko ei välttämättä ole vakio, väliä (varastotilaa) edustaa sen keskipiste lisäksi on kaksi varastotilaa S0=0 ja Sn=K jotka edustavat nollan levyisiä välejä Moranin tapa välin koko on vakio ensimmäinen ja viimeinen väli ovat puolikkaita Klemeš: Moranin tapa edellyttää useampia tiloja

16 Tilansiirtomatriisi Tila hetkellä t , tila hetkellä t+1
Esim. havainnoista Oletetaan, että on N havaintoa Luokitellaan tilat esim. n:ään luokkaan si, i=0..n Lasketaan siirtymät luokkien välillä ja jaetaan ne N:llä Sijoitetaan saadut numeroarvot matriisiin, jossa rivi kuvaa tilaa hetkellä t ja sarake tilaa hetkellä t+1

17 Tilansiirtomatriisin ominaisuuksia
Rivin elementtien summa = 1 Mallissamme on kaikki mahdolliset tilat

18 Tila Periaatteessa kaiken relevantin informaation summa tietyllä ajanhetkellä Voi sisältää historiallista tietoa Voi sisältää ennusteita Tila on subjektiivinen, havaitsijan (mallintajan) näkökulmasta määritelty asia vrt. Järjestelmän tila vrt. Altaassa oleva vesimäärä

19 Tila, jolla on Markov-ominaisuus
Ajatellaan havaitsija—toimijaa, joka havainnoi jotain ympäristössään olevaa järjestelmää (tai koko ympäristöään) ja joka kohdistaa ympäristöönsä toimenpiteitä Tilalla on Markov-ominaisuus, jos tilan arvon todennäköisyyden ajanhetkellä t+1 määrää yksinomaan tila hetkellä t ja toimenpide aikavälillä t..t+1 Teorian edellyttämä ominaisuus, tarkoittaa käytännössä? (tiedetäänkö mitä ei tiedetä?)

20 Tilan, jolla on Markov-ominaisuus, tilansiirtomatriisin
määrää siis yksinomaan tarkastellun järjestelmän ominaispiirteet ja toimenpiteet toimenpiteet ovat seurausta toimintatavasta (esim. juoksutuspolitiikka) onko varastoaltaan vedenkorkeudella Markov-ominaisuus? Tila ja tilansiirtomatriisi ovat “naimisissa keskenään”

21 Vastaus edellisen kalvon kysymykseen
on, että se riippuu siitä miten asiaa tarkastellaan Tilansiirtomatriisi sisältää mm. tulovirtaaman tilastollisen mallin Jos tila on yksinomaan varastoaltaan vedenkorkeus (ei ajankohtaa, ei edellisen aika-askeleen tulovirtaamaa), ainoa mahdollinen tulovirtaamamalli on autokorreloimaton ja esim. vuodenaikaa huomioimaton.

22 Toimintatapa Toimintatapa on kuvaus (relaatio) kustakin tilasta ja toimenpiteestä todennäköisyyteen toimia k.o. tavalla k.o. tilassa

23 Arvofunktio Arvofunktio on tilan (tai tila-toimenpide –parin) funktio, jonka arvo on skalaari, ja joka kertoo kuinka hyvä tila (tai k.o. toimenpide tilassa) on toimijan kannalta. ”Hyvyys” tarkoittaa tässä myös tulevaisuuden kannalta.

24 Markov-päätösprosessi
Määritellään, että havaitsija—toimija havaitsemansa tilasignaalin (diskreeteillä ajanhetkillä) lisäksi kokee palautteen (diskreeteillä aika-askelilla) palaute on skalaari Markov-päätösprosessin määrittelee tilansiirtotodennäköisyysmatriisi ja palautteen odotusarvo

25 Tilansiirto/ tilan ennustaminen
Tila on satunnaisvektori Tilavektorin arvo ajanhetkellä t+1 voidaan laskea sen arvosta ajanhetkellä t kertomalla se tilansiirtotodennäköisyysmatriisilla: pt+1 = Ppt

26 Tilan stationaarinen jakauma
Moranin (1954) suuri oivallus oli, että stationaarisessa tilanteessa pt+1 = pt tilan stationaarinen jakauma (jonka laskeminen oli varastoteorian tavoite) saadaan e.m. yhtälön ratkaisuna yhtälöllä on monta ratkaisua (matriisin ominaisvektorit), mutta vain yksi sellainen ratkaisuvektori, jonka alkioiden summa on yksi

27 Analyysi klassinen varastoteoria: toimintatapa,tulovirtaamamalli -> tilansiirtomatriisi -> tilan stationaarinen jakauma -> altaan toiminnan luotettavuuden analyysi optimointi: tarkastellaan tilan ja toimenpiteen arvofunktioita, jotka toimintatapa ja palautteen odotusarvo määrittävät -> paras toimintatapa on se, joka maksimoi (positiivisen) palautteen