S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jaksolliset radat ja rajajoukot (jatkuva-aikaisille systeemeille) Mat Optimointiopin seminaari

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Sisältö Määritelmiä –ω-rajajoukko / α-rajajoukko –jaksollinen rata ja radan jakso –esimerkki rajasyklistä Jatkuva-aikaisten systeemien erikoistapauksia –yksi- ja kaksiulotteisten DY-systeemien erikoispiirteitä Poincaré-Bendixsonin lause tasossa => eräs välttämätön ehto systeemin kaoottisuudelle ω-rajajoukon ominaisuuksia

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Piste z R n kuuluu ratkaisun F(t, v 0 ) rajajoukkoon, ω(v 0 ), jos – Piste z kuuluu α-rajajoukkoon, jos – Määritelmä on analoginen diskreetille tapaukselle, so. –”Radan ω-rajajoukko (forward limit set, ω-limit set) on joukko ” Jatkuva-aikaisen systeemin rajajoukko (limit set) (Lähde: Hytönen esitelmä 9)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jaksollinen rata 1/2 Ratkaisu F(t, v 0 ) on jaksollinen, jos on olemassa T>0 s.e. –F(t + T, v 0 ) = F(t, v 0 ) ja(*) –v 0 ei ole kiintopiste (equilibrium) Radan jaksoksi (period) sanotaan pienintä T, jolla (*) toteutuu Ratkaisua kutsutaan jaksolliseksi radaksi (periodic orbit) tai sykliksi (cycle) Vastaavaa rajajoukkoa kutsutaan rajasykliksi (ω- tai α -rajasykliksi)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jaksollinen rata 2/2 Jaksollinen rata on aina suljettu (closed) –esim. ympyrä, kolmio tai kahdeksikko Yksinkertaisella suljetulla radalla (simple closed curve) tarkoitetaan suljettua rataa, joka ei leikkaa itseään –Ratkaisujen yksikäsitteisyydestä (Heimo, esitelmä 10) seuraa, että jaksollisen radan tulee olla suljettu (kahdeksikko ei voi olla jaksollinen)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki rajasyklistä: Van der Pol oskillaattori (Lähde: jännite virta Muinaisissa radioissa Vaimentaa korkea- amplitudista värähtetelyä, voimistaa matala- amplitudista värähtelyä E(t) puolijohde käämi kondensaattori I(t)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät ja 2-D (autonomisten) systeemien erityispiirteitä Yksiulotteisen 1. kl. DY-systeemin kaikki ratkaisut ovat joko –monotonisesti kasvavia tai –monotonisesti väheneviä Jos yksiulotteisen systeemin ratkaisu, F(t, v 0 ) on rajoitettu, ω(v 0 ) on kiintopiste (equilibrium) Kaksiulotteisella 1. kl. DY-systeemillä voi olla –kiintopisteitä ja –jaksollisia ratoja, muttei –kaoottisia ratoja

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Yksiulotteisen 1. kl. DY-systeemien ratkaisut Olkoon, x R Ratkaisujen yksikäsitteisyydestä seuraa –F(t, v 0 ) on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä –Jos F(t, v 0 ) on rajoitettu on ω-rajajoukon, ω(v 0 ) oltava kiintopiste t x x1x1 f(x 1 ) < 0 f(x 1 ) > 0

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaksiulotteisen 1. kl. DY-systeemien ratkaisut 1/2 Poincaré-Bendixsonin lause tasossa Olkoon, x R 2, f: R 2 R 2 Lisäksi kaikille f(v i )=0, f(v j )=0 pätee – (so. kiintopisteet ovat eristettyjä) Jos F(t, v 0 ) t ≥ 0 on rajoitettu 1.ω(v 0 ) on kiintopiste, tai 2.ω(v 0 ) on jaksollinen rata, tai 3.kaikilla u ω(v 0 ), α(u) ja ω(u) ovat kiintopisteitä –Systeemillä ei siis ole kaoottisia ratoja!

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaksiulotteisen 1. kl. DY-systeemien ratkaisut 2/2 1. (kiintopiste) 2. (jaksollinen rata) P (= ω(u)= α(u)) 3. ω(x 0 ) u

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rajajoukon ominaisuuksia 1/2, v R n, f: R n R n Olkoon ω(v 0 ) ratkaisun F(t, v 0 ) rajajoukko Voidaan osoittaa, että rajajoukolla ω(v 0 ) on seuraavat ominaisuudet...

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rajajoukon ominaisuuksia 2/2 1.Olemassaolo: Jos F(t, v 0 ) on rajoitettu kaikilla t ≥ 0, niin ω(v 0 ) on ei-tyhjä joukko 2.Sulkeuma (closure): ω(v 0 ) on suljettu (closed) 3.Invarianssi (invariance): Jos u ω(v 0 ), niin ratkaisu F(t, u) ω(v 0 ) 4.Kytkeytyneisyys: Jos joukko {F(t, v 0 )} on rajoitettu, niin ω(v 0 ) on kytkeytynyt, so. ei päde –ω(v 0 ) = s.e. on tyhjä joukko 5.Transitiivisuus: Jos z ω(u) ja u ω(v 0 ), niin z ω(v 0 )

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä 1/2 Olkoon, missä f(x) = x(1-x) on erään populaation kasvumalli – (1) Eulerin menetelmällä –x t+1 =x t +hx t (1-x t ) = x t (1+h-hx t ) Tehtävä 1 (1p): Valitse y t = g(x t, h) ja λ = λ(h), että diskretoitu systeemi saa muodon –y t+1 = λy t (1-y t )(2)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jukka Luoma Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä 2/2 Tehtävä 2 (1p): –Simuloi diskretoitua systeemiä (2) jollain alkuarvolla, y 0 (0 < y 0 < 1), aika-askelilla h=0.1, h=1, h=2 ja h=3. Tehtävä 3 (1p): –Simuloi systeemiä jollain vähemmän brutaalilla menetelmällä (esim. Matlabin ode23 (Runge-Kutta(2,3)) -rutiinilla) Tehtävä 4 (2p): –Vertaile saamiasi tuloksia (teht. 2 ja teht. 3) Luonnehdi muutamalla sanalla molempia ratkaisuja –Ovatko logistinen kuvaus (2) ja logistinen differentiaaliyhtälö (1) yleisesti sama asia? Perustele.