Johdatus verkkoteoriaan 6. luento

Esitys aiheesta: "Johdatus verkkoteoriaan 6. luento"— Esityksen transkriptio:

1 Johdatus verkkoteoriaan 6. luento 5.12.17

2

3 Läpikäydyt käsitteet tavoitelistalta
Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon duaali, verkon upottaminen, verkon genus, verkon komplementti, aliverkko, täydellinen verkko, solmun ja alueen asteluku, väliverkko, säännöllinen verkko, Eulerin ja Hamiltonin verkot, kauppamatkustajan ongelma, verkon kromaattinen luku, kaksijakoinen verkko, erilaiset polut ja silmukat, verkon yhtenäisyys, puurakenteet, projektiverkko ja sen kriittinen polku …

4 Teitä ja polkuja

5

6 V - E + F = 2 back v Netspace

7 . back Netspace

8 . back Netspace

9 . back Netspace

10 . back Netspace

11 V - E + F = 0 Back Netspace

12 Genus (g) back Netspace

13 V - E + F = 2 - 2g genus Back Netspace

14 g = 1 V - E + F = 0 back Netspace

15 Back Netspace

16 Back Netspace

17 Back Netspace

18 Back Netspace

19 TÄYDELLISEN VERKON GENUS
Back V – E Netspace

20 Back Netspace

21 g = 3 V - E + F = -4 back Netspace

22 Back Netspace

23 Back Netspace

24 Back Netspace

25 V - E = 0 Back Netspace

26 V - E + F = 2 back v Netspace

27 V - E + F - S = 0 Back V – E Netspace

28 Eulerin-Poincarén kaava Sk on k-simpleksien lukumäärä k = 0 … n+1 S (-1)k*Sk=1-g, kun Sn+1=1-g
Back V – E Netspace

29 Säännölliset verkot eli Eulerin kaava kun alueen asteluku on sama
Netspace

30 E = 3V - 6 back Netspace

31 2e = S k*deg(vk) 2e = 3f v-e+f=2
back Netspace

32 E = 2V - 4 back Netspace

33 Verkkoteoriaa Lisää kertausta

34 Verkkoteoriaa Verkko solmu väli alue

35 Verkkoteoriaa 2 Solmu aste leikkaussolmu erillinen 2 2 3 2 3

36 Verkkoteoriaa Väli silta rinnakkainen

37 Verkkoteoriaa Alue aste ulkopuoli! 4 7 2

38 Verkkoteoriaa Eulerin monitahokaskaava kolmioverkko
1 Eulerin monitahokaskaava e-v+f= = =2 ? miksi ? kolmioverkko e=3v-6 3 2 4 7 5 6

39 Duaali tekeminen alueet solmuiksi ylitetään välit

40 Väliverkko tekeminen välien määrä: alueet solmuiksi
ylitetään vierekkäiset välit välien määrä: eL=-e + ½ Σ (di)2

41 Komplementti vain yksinkertaisille verkoille tekeminen
tehdään vastaava täydellinen verkko poistetaan ne välit, jotka ovat alkuperäisessä verkossa

42 Königsbergin sillat Euler Köningsberg (Kaliningrad)
”kulje kaikki sillat ylittämättä mitään siltaa kahta kertaa” v. 1736

43 ratkaisu merkitään kaikkia maa-alueita palloilla (solmuilla)

44 ratkaisu yhdistetään solmut viivoilla

45 ratkaisu piirretään toisin saadaan verkko :)
sana verkko vasta (Sylvester) ”kaikkien verkkojen äiti”

46 ratkaisu solmulla pariton määrä välejä
1. tullaan solmuun 2. poistutaan solmusta 3. tullaan takaisin joten solmuun, jolla on pariton määrä välejä pitää aloittaa tai lopettaa eli verkossa max. 2 ”paritonta solmua”, jotta ongelma ratkeaa

47 ratkaisu kaikki 4 solmua parittomia => ei ratkaisua
3 kaikki 4 solmua parittomia => ei ratkaisua Euler todista asian myös toisinpäin: ”jos verkossa on enintään kaksi paritonta solmua, niin k.o. polku löytyy” 5 3 3

48 Kauppamatkustajan ongelma eli Lyhyimmän polun ongelma
Lyhin polku Kauppamatkustajan ongelma eli Lyhyimmän polun ongelma

49 Verkko 3 F 3 C 1 I 2 3 1 2 B L 5 3 E 4 4 1 1 2 1 H 3 2 D A K 3 3 1 5 G

50 Matriisi

51 Dijkstra

52 ratkaisu 3 F 3 C 1 I 2 3 1 2 B L 5 3 E 4 4 1 1 2 1 H 3 2 D A K 3 3 1 5 G