S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kotitehtävä 4 - Ratkaisu

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kotitehtävä 1 Hae symmetrisen viivytystaistelun puhtaiden strategioiden Nashin tasapaino(t). Agentti AAgentti B m A > m B V – m B – m B m A = m B V/2 – m B m A < m B – m A V – m A

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Ratkaisu (1/1) Nashin tasapainoja ovat kaikki strategiaparit (m A, m B ), joille pätee E(M, m B ) ≤ E(m A, m B ) ja E(N, m A ) ≤ E(m B, m A ) kaikilla M,N ≥ 0. Siis, jos ollaan tasapainossa eli pelataan (m A, m B ), niin kummankaan ei kannata yksin vaihtaa strategiaansa. Tutkitaan parhaat vastestrategiat, kun toinen valitsee strategiansa joukoista –I) {0} –II) (0,V) –III) [V,∞)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Ratkaisu (2/2) I) Kun m B = 0, on paras vaste A:lle m A ∈ (0,∞) II) Kun m B ∈ (0,V) on paras vaste A:lle m A ∈ (m B,∞) III) Kun m B ∈ [V, ∞) on paras vaste A:lle m A = 0 Symmetrian perusteella tilanne on sama molemmille pelaajille. Strategiaparit, joista ei kannata yksin poiketa kuuluvat tapausten I) ja III) piiriin, sillä ne ovat toistensa parhaat vasteet. Nashin tasapainoja ovat näin ollen strategiaparit {0, M} ja {M, 0}, M ∈ [V, ∞).

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kotitehtävä 2 Olkoon peli viivytystaistelun muunnelma siten, että häviäjälle koituu odottamisesta johtuvan kustannuksen lisäksi rangaistus α. Etsi tasapainostrategia I = p(x). Minkä suuruinen on keskimääräinen palkkio tasapainostrategiaa vastaan pelatessa? Agentti A Agentti B m A > m B V – m B – m B – α m A < m B – m A – αV – m A

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Ratkaisu (1/3) Tasapainostrategia I toteuttaa ehdon Nyt E(m,I) =

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Ratkaisu (2/3) Homogeeninen yhtälö:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Ratkaisu (3/4) Erikoisratkaisu: Yleinen ratkaisu on HY:n ratkaisun ja erikoisratkaisun kombinaatio:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Ratkaisu (3/3) Keskimääräinen palkkio pelattaessa mielivaltaisella strategialla m tasapainostrategiaa I vastaan on Koska palkkio on vakio kaikilla m, valitaan m = 0.