S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Evoluutiopeliteoria: Viivytystaistelu.

Esitys aiheesta: "S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Evoluutiopeliteoria: Viivytystaistelu."— Esityksen transkriptio:

1 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Evoluutiopeliteoria: Viivytystaistelu 24.09.2008

2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (1/10) Kaksi agenttia kilpailevat palkkiosta. Olkoon kilpailutilanne sellainen, että palkkion jakaminen ei kannata. Kilpailu ei eskaloidu (vrt. Hawk-Dove), vaan kauemmin paikalle odottamaan jäänyt agentti saa itselleen palkkion. Agentit valitsevat strategiaksi kuinka kauan he ovat valmiita odottamaan.

3 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (2/10) Kaksi lintua kilpailevat paremmasta pesimäalueesta: N = odotettu poikasmäärä paremmalla alueella kN = odotettu poikasmäärä jaetulla em. alueella, k<1 n = odotettu poikasmäärä huonommalla alueella, n<N Olkoon n > kN, jolloin alue kannatta ennemmin vaihtaa kuin jakaa. Palkkio V = N – n, eli suurempi poikasten määrä.

4 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (3/10) Miten kauan agenttien tulisi odottaa? –Odottamisesta koituu kustannusta kuten ravinnon hankinnan tai pesinnän viivästymistä. Kuvataan odottamisesta koituvaa kustannusta (jatkuvalla) suureella m. Agentit A ja B valitsevat strategioikseen odottamisen keston, joihin liitetään vastaavasti kustannukset m A ja m B

5 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (4/10) Kustannus odottamisesta on molemmille agenteille häviäjän kustannuksen suuruinen. Tällöin pelaajien kokonaispalkkiot ovat: –Huom. todennäköisyys, että m A = m B on nolla. Agentti AAgentti B m A > m B V – m B – m B m A = m B V/2 – m B m A < m B – m A V – m A

6 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (5/10) Ei ole olemassa puhdasta strategiaa M, joka olisi Evolutiivisesti stabiili strategia (ESS). Mahdollinen ESS on siten sekastrategia, joka jatkuvalle muuttujalle m tarkoittaa tiheysfunktiota p(x), jossa –p(x):n löytämiseksi hyödynnetään Bishop-Canningsin teoreemaa.

7 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Bishop-Cannings (1/3) Lause. (Bishop-Cannings) Olkoon I evolutiivisesti stabiili sekastrategia, jonka kantajana ovat puhtaat strategiat a,b,…. Tällöin pätee: Todistus. Oletetaan, että E(a,I)<E(I,I) ja kirjoitetaan I muotoon P(a)+(1-P)(X), jossa X sisältää kantajan muut strategiat kuin a:n.

8 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Bishop-Cannings (2/3) Saamme näin ollen

9 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Bishop-Cannings (3/3) Koska I on ESS, ei oletus E(a,I) E(I,I). Siis täytyy olla E(a,I)=E(I,I). □ Nyt strategiajoukko on jatkuva, jolloin lauseen mukaisesti E(m,I) = vakio kaikilla I:n kantajaan kuuluvilla m eli kun p(m)>0.

10 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (6/10) Rajoitusehto: Jotta I = p(x) olisi ESS, välttämätön ehto:

11 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (7/10) Homogeeninen yhtälö:

12 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (8/10) Erikoisratkaisu: Yleinen ratkaisu on kombinaatio HY:n ratkaisusta ja erikoisratkaisusta:

13 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (9/10) ESS – kandidaatiksi saadaan siis tasapainostrategia Kandidaatin varmistaminen stabiiliksi vaatii vielä osoituksen, että sillä on mielivaltaista strategiaa m vastaan etulyöntiasema:

14 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Viivytystaistelu – periaate (10/10) Kyseinen strategia on todistettu stabiiliksi 1), ja se on näin ollen ESS. Koska saatu strategia on eksponenttijakauma, voidaan siitä vetää tulkintoja: –Agentit ovat pelin aikana samassa tilanteessa strategianvalinnan suhteen kuin ennen peliä. –Agenteilla on aikayksikköön nähden vakio todennäköisyys poistua. 1) Bishop & Cannings (1978)

15 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kenttäkokeita: Lantakärpäset Parker & Thompson tutkivat lantakärpästen (Scatophaga stercoraria) käyttäytymistä lehmälaitumella. –Naaraat etsivät tuoreita jätöksiä joihin munia. –Koiraat kokoontuvat jätöksille odottamaan ja hedelmöittääkseen saapuvia naaraita. –Mitä vanhempi jätös, sitä vähemmän naaraita sille saapuu ja päinvastoin.

16 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Lantakärpäset - jatkuu Miten pitkä odottaminen on koiraalle edullisinta? –Riippuu naaraiden saapumistiheydestä ja uuden jätöksen löytämiseen kuluvasta keskimääräisestä ajasta. –Havaittiin, että odottamisajat koirailla ovat eksponentiaalisesti jakautuneita. Jotta käyttäytymistä voitaisiin pitää ESS:na, tulisi kullakin strategialla olla odotusarvoisesti yhtä hyvä parannus koiraiden elinkelpoisuuteen (jota tässä mitataan parittelun onnistumisena).

17 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Lantakärpäset - jatkuu Saadakseen aineiston kyseisen kaltaiseksi, täytyi Parkerin olettaa, että keskimääräinen aika uuden jätöksen löytämiseksi on 4 minuuttia. –Tämä aika on vastaava kuin kokeellisesti havaittu keskimääräinen aika(!) – havaittu käyttäytyminen voi näin ollen olla ESS.

18 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Lantakärpäset – varovaisuutta tulkinnoissa (1/3) Viivytystaistelussa strategiat ovat eksponentiaalisesti jakautuneita, jolloin myös taistelun kesto on eksponentiaalisesti jakautunut puolta pienemmällä odotusarvolla. Parittelun jälkeen koiraat jäävät puolustamaan naaraita muiden koiraiden kosiskeluilta.

19 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Lantakärpäset – varovaisuutta tulkinnoissa (2/3) Mikäli paikalle saapuu toinen koiras, voi tilanteesta kehkeytyä kamppailu. –Kamppailujen kestot on havaittu eksponentiaalisesti jakautuneiksi –Kuitenkin huomataan, että kamppailun voittaja riippuu myös siitä kumpi on hyökkääjä.

20 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Lantakärpäset – varovaisuutta tulkinnoissa (3/3) Tilanne on näin ollen asymmetrinen – jakauman muoto ei takaa, että peliä voidaan pitää symmetrisenä viivytystaisteluna. Oleellista ei ole strategiajakauman muoto, vaan eri strategioista niiden käyttötiheyteen nähden saatava vakiopalkkio.

21 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kustannuksista Edellä on oletettu aikaan nähden lineaarinen kustannus – tällöin saadaan eksponenttijakautuneita strategioita. Kustannuksen riippuvuus ajasta on kuitenkin melko tulkinnanvaraista. Yhtä hyvin voitaisiin olettaa neliöllinen (tai muu) kustannus aikaan nähden Q=kx 2, jolloin tasapainostrategiaksi saadaan:

22 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Käytettävyydestä ja oletuksista Malli on sovellettavissa, kunhan seuraavat ehdot pätevät: (i)Agentit eivät saa oleellista tietoa toisistaan pelin aikana, joten strategia tulee valituksi alussa. (ii)Voittaja on se, kumpi hyväksyy suuremman kustannuksen. (iii)Kustannus molemmille on häviäjän kustannus. (iv)Strategiajoukko on jatkuva.

23 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Tiedonsaannin merkitys (1/4) Lantakärpästen käytös odotusaikoja tarkasteltaessa kävi yksiin mallin kanssa. –Kyseessä on kuitenkin tilanne, jossa kärpänen ei pelaa toista kärpästä vastaan (ei tiedonvaihtoa) Lantakärpästen käytös parittelun jälkeen kamppailtaessa ei vastannut malli. –On luultavaa, että kärpäset saavat merkittävää tietoa kamppailun kuluessa (koko, voima,…)

24 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Tiedonsaannin merkitys (2/4) Eikö molemmille olisi kannattavaa näyttää oma strategia? –Tällöin voittaja (ol. m A > m B ) saisi V ja häviäjä 0, kun he muutoin saisivat V – m B ja – m B. –Tällaiseen populaation voi tunkeutua mutantti, joka näyttää väärää strategiaa M( > m A ) ja pakenee, jos vastustaja ei heti pakene. –Nyt voi puolestaan tunkeutua alkuperäinen ’odottaja’ mutantti, joka ei näytä strategiaansa.

25 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Tiedonsaannin merkitys (3/4) Ajatellaan mallia, jossa agentit havaitsevat toistensa koon, ja suurempikokoinen voittaa. –Evolutiivisesti stabiilia olisi salata omaa kokoaan ja lisäksi paeta paikalta jos huomaa itsensä pienemmäksi kuin vastapelaajan. –Tällöin edellisen kaltainen ’odottaja’ mutantti, joka ei kiinnitä huomiota saatuun tietoon tai ei jaa tietoa itsestään, joutuisi turhiin kahakoihin.

26 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Tiedonsaannin merkitys (4/4) Oleellista on siirtyvän tiedon luonne: –Ensimmäisessä populaatiossa siirtyvä tieto on aikomus (eli strategia), jonka näyttäminen ei aiheuta suurta kustannusta (voi olla valheellista tietoa). –Toisessa populaatiossa siirtyvä tieto on resurssivaranto (Resource-Holding Power, RHC), jonka näyttäminen voi olla ESS, jos on 1) mahdotonta antaa valheellista tietoa ja 2) kallista hankkia varantoa.

27 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kotitehtävä 1 Hae symmetrisen viivytystaistelun puhtaiden strategioiden Nashin tasapaino(t). Agentti AAgentti B m A > m B V – m B – m B m A = m B V/2 – m B m A < m B – m A V – m A

28 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Janne Nurmi Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kotitehtävä 2 Olkoon peli viivytystaistelun muunnelma siten, että häviäjälle koituu odottamisesta johtuvan kustannuksen lisäksi rangaistus α. Etsi tasapainostrategia I = p(x). Minkä suuruinen on keskimääräinen palkkio tasapainostrategiaa vastaan pelatessa? Agentti A Agentti B m A > m B V – m B – m B – α m A < m B – m A – αV – m A