4.1. Funktion ääriarvot 4.1.1. Funktion kasvu ja väheneminen Funktio f on (aidosti) kasvava, jos kaikilla x1, x2 Î Mj pätee x1 (<) x2 Þ f(x1) (<) f(x2) Funktio f on (aidosti) vähenevä, jos kaikilla x1, x2 Î Mj pätee x1 (<) x2 Þ f(x1) (>) f(x2) (Aidosti) kasvavia ja väheneviä funktioita kutsutaan (aidosti) monotonisiksi funktioiksi
E.1. a) Funktio f on kasvava. Kumpi on suurempi f(-1) vai f(-2)? b) Funktio f on vähenevä ja f(a) < f(2). Millainen luku a on? a) f(-1), koska -1 > -2 b) a > 2
Funktion monotonisuuden laatu derivaatan avulla Derivoituva funktio on kasvava, kun f ´(x) > 0 ja vähenevä, kun f ´(x) < 0 E.2. Mikä tulisi vakion a arvon olla, jotta funktio f(x) = x2 + ax + 3 olisi kasvava kohdassa x = 2? f ’ (x) = 2x + a kasvava: f ’ (2) > 0 2 2 + a > 0 a > -4
Monotonisuuden laatu täsmällisemmin
E.3. a) Millä välillä funktio f(x) = x2 - 3x + 4 on vähenevä? Funktio f on polynomifunktiona kaikkialla jva ja derivoituva f ’ (x) = 2x - 3 x - 3 x ½ b) Milloin funktio f(x) = x4 - 4x3 on vähenevä ? Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva ja derivoituva f ’ (x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 ( x – 3) JNE. ks. muistiinpanot
274. f(x)
f(x)
275. f(x)
f(x)