S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Urheiluturnausten ja viihdetapahtumien skedulointi 1/2

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Motivaatio Halutaan löytää n:n joukkueen sarjalle/turnaukselle aikataulu, jossa kaikki joukkueet pelaavat toisiaan vastaan Mahdollisia aikatauluja karsivat tietyt asetelmaan liittyvät rajoitteet

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Sisältö Turnausasetelman kuvaus Matemaattinen formulointi Kokonaislukuoptimointitehtävä Rajoiteohjelmointitehtävä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lähtökohdat n kappaletta joukkueita Yhden kokonaiskierron turnaus: kaikki pelaavat kaikkia vastaan kerran (kotona tai vieraissa) –Jos n parillinen => n-1 kierrosta, jos pariton => n kierrosta (1 joukkue lepää joka kierroksella) Kahden kokonaiskierron turnauksessa vastaavasti 2n-2 kierrosta (n pariton) tai 2n kierrosta (n parillinen)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Perustehtävä Yhden kokonaiskierron turnaus n parillinen eli n-1 kierrosta –Kullakin kierroksella n/2 ottelua Olkoon kierrosindeksi t ja binäärimuuttuja x ijt –Saa arvon 1, jos joukkue i pelaa joukkuetta j vastaan kotona kierroksella t. Muulloin x ijt = 0

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoitukset Rajoitukset: –j pelaa jotain joukkuetta vastaan joka kierroksella –i pelaa j:tä vastaan täsmälleen kerran

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoitukset II Usein myös muita rajoitteita –Parien muodostaminen, otteluiden jonoistaminen Rajoitteita mahdollisesti paljon => käyvän aikataulun löytäminen voi olla vaikea tehtävä –Tyydytään siihen, että sellainen löydetään

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Terminologiaa Voi olla, että halutaan optimoida jotain kohdefunktiota => tarvitaan terminologiaa Joukkueen otteluiden jonoistaminen Kotipeli := H (home), vieraspeli := A (away) Esimerkkikaavio i. joukkueelle HAHAA

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Katkos Kaavion toivotaan alternoivan: joukkue pelaa vuoroin kotona, vuoroin vieraissa Jos kaksi peräkkäistä kotona/vieraissa hetkillä t-1 ja t => kaaviossa katkos kohdassa t Yleinen kohde: turnauksen katkosten kokonaismäärän minimointi Skedulointiteoria: n (n parill.) joukkuetta => 1 kokonaiskierron turnauksessa väh. n-2 katkosta

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki n = 6, kierrosten määrä 5 Jos joukkue i pelaa joukkuetta j vastaan vieraissa kierroksella t => merkitään i:nnelle riville t. sarakkeeseen j Jos joukkue i pelaa joukkuetta j vastaan kotona kierroksella t => merkitään i:nnelle riville t. sarakkeeseen –j Merkitään katkoksia **

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki katkosta, minimitapauksessa olisi 4

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lepovuoro Olkoon n pariton => vähintään n-1 kierrosta joista jokaisella väh. 1 joukkue lepää –Merkitään B (bye) –Tietyn joukkueen kaavio saadaan A:sta, B:sta ja H:sta => esimerkiksi HAHABA B ei välttämättä katkos –HBH vs. HHH vs. HH (vähemmän paha?) –Sakot/kustannukset => HBH:lla pienin?

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Graafin väritys 1 kierroksen turnaus (n pariton tai parillinen) Graafin väritystehtävä (vertaa aikataulutus) Suunnattu graafi G = (N,B), jossa N muodostuu n kpl solmusta, jotka ovat yhteydessä kaarilla toisiinsa –Kaaret alkuun suuntaamattomia Jos kaikki solmut liittyvät toisiinsa, kyseessä on täydellinen graafi (clique, complete graph)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Graafin väritys Graafin eli kaarien värittäminen, kaikki tiettyyn solmuun liittyvät eri värisiä => minimoidaan värien kokonaismäärä n solmun ”clique” => n värin graafi mahdollinen Aligraafi = kaarijoukko, jolla oma väri – 1 reunakaari, muut sisäkaaria

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Täydellisen graafin väritys

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Graafin väritys vs. aikataulutus Yhden kokonaiskierron tehtävä: aligraafi vastaa yhtä ottelukierrosta, oma väri Kysymys: Miten jako aligraafeihin tapahtuu? Koti- ja vieraspelin erotus saadaan suunnatuilla kaarilla –i pelaa j:n luona => kaari i -->-- j Katkosten välttäminen: kaksi aligraafia muodostaa suunnatun Hamiltonin polun –Jokaisessa solmussa enint. 1 sis.meno/ulostulo

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Suunnattu Hamiltonin polku

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Käyvät aikataulut Standardi runko käypien aikataulujen löytämiseksi Kaavio verrannollinen kirjainjonoon, jossa kirjaimia A, H ja B –Kirjainjonon pituus parillisessa tapauksessa n-1 ja parittomassa n Koti-vieraskaavio (home-away pattern HAP)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmi 3 vaihetta, 1 kokonaiskierron turnauksille Vaihe I (Kokoa HAP:t) –Etsi kokoelma, jossa n erilaista koti-vieras – kaaviota –Tämä kokoelma muodostaa kaaviojoukon

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmi Vaihe II (luo aikataulu): –Määrää ottelu jokaiseen kaaviojoukon kohtaan –Tuloksena aikataulu Vaihe III (määrää joukkueet kaavioihin) –Aseta kuhunkin kaavioon joukkue –Yhdessä aikataulun kanssa muodostaa 1 kokonaiskierron turnauksen Vaihe IV (Mahdollinen peilaus) –Kahden kierroksen turnaus peilaamalla

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki n = 4, 3 kierrosta Askel I: 4 kaavion luonti joukkueille (a,b,c,d) (1, 2, 3, 4) “place holdereita”, ei vielä tietoa mikä joukkue milläkin paikalla

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki Askel II: määrätään peliparit ja aikataulu –(j) : joukkue vierailee joukkueen j luona –(-j) : joukkue isännöi joukkuetta j

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki Askel III: määrätään joukkueet kaavioihin –Huomioidaan preferenssit –d -> 1, b -> 2, a -> 3, c -> 4

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki Askel IV: Peilataan, jos halutaan 2 kiertoa 6 katkosta, keskinäisten kohtaamisten välinen etäisyys aina 3 kierrosta

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmista Usein käytetään soveltaen -> luodaan enemmän kuin n kaaviota, jolloin yli 1 kaaviojoukkoa –Antaa vaihtoehdoille sijaa Paljon joukkueita -> vaatii laskentatehoa Jokaisessa vaiheessa joko kokonaislukuoptimointi tai rajoiteohjelmointi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointi Askel 1: Luodaan useita kaaviojoukkoja –Ensin sellaiset, joissa A ja H alternoivat –Vaihtoehtoiset, joissa 1-2 katkosta per kaavio –Ylimääräiset joukot sis. esim. n-2 kaaviota ilman katkoksia ja 2 kaaviota 1-2 katkoksella –Mahdollisten kaaviojoukkojen määrä edelleen suhteellisen pieni

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointi Askel II: Luodaan aikataulut –Kukin kaavio linkittyy toiseen kullakin kierr. S olkoon n kaavion joukko, T kierrosten joukko x klt : kuvaa sitä, että k. kaavion joukkue pelaa j. kaavion joukkuetta vastaan kierroksella t –Saa arvon 1, jos pelaa vieraissa, muuten 0 F = käypien (k,l,t)-triplettien joukko

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointi Kokonaislukutehtävä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointi Kohdefunktio keinotekoinen, halutaan löytää ratkaisu, jolle rajoitteet toteutuvat 1. rajoite: tasan 1 ottelu k:n ja l:n välillä 2. rajoite: enintään 1 ottelu joukkueelle k kullakin kierroksella –Jos n parillinen, ehto muotoa “=“

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointi Askel III: joukkueet kaavioihin Binäärimuuttuja y ik : onko joukkue i kaaviossa k Kustannus c ik : joukkueen i sijoittamisesta kaavioon k (preferenssit)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointi “1 joukkue per kaavio, 1 kaavio per joukkue”

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoiteohjelmointi Poikkeaa edeltävästä täysin Soveltuu ongelmaan hyvin, aikatauluilla usein useita rajoitteita –Katkosrajoitteet (esim. ≤ 3 peliä putkeen H/A) –Ensimmäiset kierrokset (≥ 2 koti- tai lepokierrosta 4 ensimmäisellä kierroksella) –Ei kahta viimeistä kierrosta vieraissa –Peli- tai joukkuespesifiset rajoitteet –“constraint store”

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoiteohjelmointi Nyt n pariton ja kahden kierron sarja => 2n kierrosta Esitelty algoritmi voidaan toteuttaa myös rajoiteohjelmointitapauksessa a t, h t ja b t kuvaavat mitä joukkue tekee kierroksella t –a t =1: joukkue pelaa kierroksella t vieraissa ν = käypien HAP:n määrä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoitukset Näiden perusteella käyvät kaaviot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vaihtoehtoinen tapa Askel 1: Käyvät kaaviojoukot ν*2n – matriisit H, A, B Apubinäärimuuttuja x k,joka kuvaa, onko k. kaavio mukana kaaviojoukossa –Arvo 1 jos on

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Formulointi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoiteohjelmointi, vaihe II Uusi rajoitejoukko n×2n-matriisit H*, A*, B* –Näissä alkiot ja, jotka kuvastavat koti-, vieras – ja lepokierroksia k:nteen kaavioon kierroksella t Binäärimatriisit H**, A**, B** vastaavasti Muuttuja, jolla rangi 1,…, n –Jos joukkue i pelaa rivillä *-matriiseissa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoiteohjelmointi, vaihe II n×2n matriisi T kuvastaa tavoiteaikataulua –Tämän alkiot g it määräävät i:n vastustajan Muuttuja I(x=y) –Saa arvon 1, jos x = y, muulloin 0 Muuttuja I(x D) vastaavasti –Saa arvon 1, jos x kuuluu joukkoon D Alldifferent( ): eriävät kokonaisluvut Element( ):

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoiteohjelmoinnin tehtävä H*, A* ja B* kiinteitä => hakustrategia läpikäy, jolloin H**, A**, B** vaiheittain

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Rajoiteohjelmoinnin tehtävä Johdonmukaisesti huomioiden rajoitteet jo kiinnitetyistä muuttujista hakupuu mahdollista tutkia melko lyhyessä ajassa Lopulta g it :t haetaan, myös tässä puu harvenee kun edetään johdonmukaisesti

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 8 – Reda Guerfi Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Kotitehtävä Kirjan tehtävä Löydätkö esimerkistä aikataulun, jossa vähemmän kuin 6 katkosta?