S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lineaarisen optimointitehtävän.

Esitys aiheesta: "S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lineaarisen optimointitehtävän."— Esityksen transkriptio:

1 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lineaarisen optimointitehtävän formulointi 2.12.2009 Eeva Vilkkumaa

2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Ohjelma Joustavan ja ohittavan vuolaitosmallin skedulointi Luentojen aikataulutus Ohion yliopistossa

3 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Joustava ja ohittava vuolaitosmalli Joustava vuolaitosmalli 1.Työt käyvät läpi useita työpisteitä 2.Työpisteiden kiertojärjestys sama kaikille töille 3.Jonojen järjestys voi muuttua työpisteiden välillä 4.Kullakin pisteellä voi olla useita rinnakkaisia koneita Ohitus mahdollista Rajoitettu määrä erilaisia tuotetyyppejä Valmistusprosessi on syklinen, joten yritetään maksimoida suoritusteho

4 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Joustava ja ohittava vuolaitiosmalli Esitelmä 7 (Jarno Ruokokoski); Flexible flow line loading (FFLL) -heuristiikalla –Koneiden allokointivaihe (LPT-heuristiikalla) –Töiden järjestelyvaihe (Dynaamisen tasapainotuksen heuristiikka; pyritään pitämään kukin kone yhtä työllistettynä) –Julkaisuajan ajastus (työnnetään pullonkaulakoneita edeltävien/seuraavien koneiden töitä mahdollisimman paljon myöhemmäksi/aiemmaksi) Tavoitteet: –Suoritustehon maksimointi –WIP-varaston minimointi

5 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Joustava ja ohittava vuolaitosmalli: Sekalukuformulointi (MIP) Parametrit n=Töiden lkm L=Työvaiheiden lkm M l =Rinnakkaisten koneiden lkm vaiheessa l p j l = Työn j prosessointiaika vaiheessa l Päätösmuuttujat: = 1, jos työ i prosessoidaan koneella k välittömästi työn j jälkeen vaiheessa l; muuten 0 =1, jos työ i prosessoidaan ensimmäisenä koneella k vaiheessa l; muuten 0 =1, jos työ i prosessoidaan viimeisenä koneella k vaiheessa l; muuten 0 C j l = työn j valmistumishetki vaiheesta l C max = Hetki, jolloin kaikki työt valmiina kaikista vaiheista

6 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Joustava ja ohittava vuolaitosmalli: MIP-formulointi Kussakin vaiheessa kullekin työlle 1- käs. kone, jolla ko. työ prosessoidaan joko ensin tai jonkin toisen työn jälkeen Kussakin vaiheessa, jos työ i prosessoidaan koneella k, on sillä tasan 1 seuraaja (tai viimeisenä) Jos työ h prosessoidaan vaiheessa l koneella k, on sillä tasan yksi edeltäjä ja yksi seruaaja (tai ensimmäinen/viimeinen) Kussakin vaiheessa kukin kone aloittaa ja lopettaa jollakin työllä

7 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Kussakin vaiheessa kunkin työn valmistumisaika on vähintään saman koneen edellisen työn valmistumisaika + oma prosessointiaika Kussakin vaiheessa kunkin työn valmistumisaika on vähintään ko. työn valmistumisaika edellisestä vaiheesta + prosessointiaika tässä vaiheessa Makespanin sisällä tulee saada kaikki työt kaikista vaiheista läpi Binäärimuuttuja Valmistumishetket ei-negatiivisia Vaiheen 1 kunkin koneen ensimmäisen työn valmistumisaika on vähintään prosessointiaika

8 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki Kolme vaihetta, 5 työtä –Vaiheissa 1 ja 3 kaksi konetta, vaiheessa yksi kone Prosessointiajat 12345 Vaihe 163135 Vaihe 232132 Vaihe 345634

9 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 FFLL vs. MIP 25 2 5 34134 1 3 24513 2451 4 141 325325 Kone 1 Kone 2 Kone 3 Kone 4 Kone 5 010203230 t

10 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus Esitelmä 13 (Lauri Talvikoski); kalifornialainen yliopisto –30 000 opiskelijaa, 80 laitosta, 4000 luentoa/lukukausi, 250 luokkahuonetta –Tavoitteita Luokka lähellä professorin työhuonetta Opiskelijan saman päivän luennot lähekkäin Salin koko suhteessa opiskelijoiden lkm jne jne –Voidaan formuloida MIP:nä Kuitenkin 500 000 muuttujaa, 30 000 rajoitetta Tällä hetkellä laskentateho riittää n. 7000 muuttujan IP-tehtäviin

11 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus: Ohion yliopisto Ohion University College of Business –65-75 opettajaa –110-130 kurssia –14-16 luokkahuonetta Kurssien aikatauluttamiseen ja luokkahuonejakoon käytetty MIP- mallia vuodesta 1998 –1900-2400 binäärimuuttujaa –10-150 jatkuvaa –1600-1900 rajoitetta –13000-17000 nollasta poikkeavaa alkiota kerroinmatriisissa (tiheys n. 0.4%) Optimiratkaisu CPLEXillä (600MHz Pentium PC) 2-5 sekunnissa

12 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus: Ohion yliopisto Tavoitteita: –Opettajilla preferenssejä kurssien, luokkahuoneiden ja aikapaikkojen suhteen –Pyritään löytämään mahdollisimman hyvä aikataulutus opettajien ”tärkeyksillä” painotettujen preferenssien valossa –Minimoidaan lisäksi seuraavia Kurssi kotirakennuksen ulkopuolella Päivässä liian vähän opetusta Laitoksella suhteettoman paljon opetusta kotirakennuksen ulkopuolella Opettajalla opetusta kotirakennuksen ulkopuolella

13 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus: Ohion yliopisto Rajoitteita: –Opettajan tulee opettaa määrätty määrä kursseja, ei kuitenkaan useampaa samaan aikaan –Yhdessä luokassa vain yksi kurssi yhdellä kertaa –Opettaja saattaa haluta rajoittaa opetuspäivien määrää –Opettaja ei välttämättä halua opettaa kahdella peräkkäisellä aikapaikalla –Opettaja saattaa haluta opettaa joko aamu- tai iltapäivällä, muttei molempina; ym. poissuljettuja aikapaikkayhdistelmiä –Osaa kursseista vetää useampi opettaja yhdessä –Joitakin kursseja ei tule pitää samaan aikaan

14 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus yliopistossa Päätösmuuttujat: x ijkl : 1, jos opettaja i opettaa kurssia j salissa k aikapaikalla l; muuten 0 m jkl :1, jos moniopettajakurssi j pidetään salissa k aikapaikalla l; muuten 0 r i :Kuinka monta kurssia opettaja i joutuu pitämään kotirakennuksen ulkopuolella y j :Kuinka monta opettajaa kurssilla j joutuu opettamaan kotirakennuksen ulkopuolella z s :Kuinka monta kurssia jää uupumaan päivän s vähimmäismäärästä u h :Kuinka monta laitoksen h kurssia joutuu kotirakennuksen ulkopuolelle sallitun enimmäismäärän lisäksi v is :1, jos päivä s opetusvapaa opettajalle i; muuten 0 w iq :1, jos aikapaikka q opetusvapaa opettajalle i; muuten 0

15 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus yliopistossa Maksimoidaan opettajien kurssi-, luokka- ja aikapaikkapreferenssien painotettua summaa käypien allokaatioiden yli Minimoidaan kotirakennuksen ulkopuolelle joutuvien opettajien kursseittain painotettua summaa… …, päivittäisen minimikurssimäärän alle jäämistä …, toiseen rakennukseen asetettujen kurssien max-määrän ylitystä laitoksittain …sekä suunnitellun opetusmäärän alittumista (kotirakennuksessa) opettajittain Kurssin j kotirakennusopettajien lkm yhtyy suunniteltuun I j, tai alittuu määrällä y j. Hetkellä t salissa k opetetaan enintään yhtä kurssia, mikäli sali on saatavilla (RA binääri) Opettajalle ei laiteta opetusta vapaapäiville / vapaille aikapaikoille eikä peräkkäisiin aikapaikkoihin Joukon G(p) kursseja ei saa opettaa samaan aikaan

16 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Luentojen aikataulutus yliopistossa Kunakin päivänä pyritään opettamaan vähintään C s min kpl kursseja Opettajan i opetusvapaiden päivien tulee summautua pyydettyyn määrään TFD i Laitoksen h kurssien kokonaisopettajavaje (kotirakennuksessa) pyritään saamaan alle luvun C h max Kullekin opettajalle pyritään antamaan ”täysi” kurssimäärä C i kotirakennuksessa Jos moniopettajakurssille on asetettu vähintään yksi opettaja, pätee m jkl =1 Opettajan poissulkemat aikapaikkayhdistelmät

17 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Yhteenveto Esitettiin MIP-formuloinnit kahdesta kurssilla käsitellystä skedulointitehtävästä MIP-ratkaisijalla päästään optimaaliseen ratkaisuun, mutta tehtävän koon kasvaessa laskentatehon rajoitukset tulevat vastaan Käytössä kuitenkin esim. Ohion yliopiston College of Businessin lukujärjestyksen laatimisessa

18 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 22 - Eeva Vilkkumaa Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lähteet Guinet, A., Solomon, M.M., Kedia, P.K., Dussauchoy, A., (1996). A computational study for two-stage flexible flowshops, International Journal of Production Research, Vol. 34, pp. 1399-1415. Kis, T., Pesch, E., (2005). A review of exact solution methods for the non-preemptive multiprocessor flowshop problem, European Journal of Operatinoal Research, Vol. 164, pp. 592-608. Martin, C.H., (2004). Ohio University’s College of Business Uses Integer Programming to Schedule Classes, Interfaces, Vol. 34, pp. 460- 465.