Two dimensional maps 1/2 24.1.2007 Matti Koskimies

Alligood: 2. kappale Tänään käsitellään kurssin oppikirjan kappaleet: 2.1 Mathematical Models 2.2 Sinks, Sources and Saddles 2.3 Linear Maps 2.4 Coordinate Changes …ja ensi viikolla Jussi Kangaspunta jatkaa: 2.5 Nonlinear Maps and the Jacobian Matrix 2.6 Stable and Unstable Manifolds 2.7 Matrix Times Circle Equals Ellipse

Esitelmän aiheet Käsitekartta esitelmän aiheista Määritelmiä Motivaatio: miksi (2D-)kuvauksia? Kuvausten ominaisuuksia Kotitehtävä Loppuun kevennykseksi demo kaaoksesta

1. Käsitekartta

2. Määritelmiä Dynaaminen systeemi Kuvaus eli funktio Joukko mahdollisia tiloja Deterministinen sääntö joka määrittelee seuraavan tilan nykytilan perusteella Diskreetti- tai jatkuva-aikainen Kuvaus eli funktio Sääntö joka liittää jokaiseen lähtöjoukon A alkioon tarkalleen yhden alkion maalijoukosta B Map: kuvaus jossa lähtöjoukko ja maalijoukko ovat samat Eräs määritelmä diskreettiaikaiselle dynaamiselle systeemille Suomennos…?

Kaksiulotteinen kuvaus (two-dimensional map) Tässä yhteydessä tarkoitetaan: Monet useampiulotteisten kuvausten ilmiöt ”läsnä” Lähteiden ja nielujen lisäksi kiintopisteet voivat olla nyt myös ”satuloita” Iteroidut (=yhdistetyt) kuvaukset Oikeastaan puhumme dynaamisten systeemien yhteydessä näistä, eli käytännössä tutkimme ensimmäisen asteen differenssiyhtälöitä:

Kaksi hyödyllistä kuvaustyyppiä: Poincarén kuvaus ”Otoskuvaus jaksolla T” (Time-T map)

3.Miksi kuvauksia? 3.1 N:n kappaleen ongelma ”Miksi tutkia kuvauksia, kun luonnonilmiöt ovat kuitenkin useimmiten ratkeamattomia differentiaaliyhtälöitä…?” 3.1 N:n kappaleen ongelma 3.2 Pakotettu ja vaimennettu heiluri 3.3 Hénonin kuvaus

3.1 N:n kappaleen ongelma Alkupiste kaoottisten ilmiöiden tutkimukselle N kappaletta voimakentässä Ratkaise liikeyhtälöt! Gravitaatiokentälle: Ei ratkaisua suljetussa muodossa kun N>2

V. 1889 ruotsin kuningas Oscar II järjesti aiheesta kilpailun Henri Poincaré menestyi parhaiten Yksinkertaistettu malli: 2 aurinkoa ja 1 planeetta Stabiilit ja epästabiilit monistot Ongelmana homokliiniset pisteet Julkaisu: ”On the equations of dynamics and the three-body problem Todistus liikeyhtälöiden ratkeamattomuudelle Homokliinisten pisteiden kautta kaoottisten ilmiöiden löytö

Miksei N-kappaleen ongelma ratkea kun N>2? Tuntemattomia muuttujia 6*N 3 kpl paikka- ja 3 kpl nopeuskomponentteja / kappale Yhtälöitä kuitenkin vain 10: 3 kpl massakeskipisteelle 3 kpl liikemäärälle 3 kpl pyörimismäärälle 1 kpl energialle Kun kappaleita 2 kpl, liike tapahtuu tasossa => jää vain 4 komponenttia ratkaistavaksi Tästä huolimatta löydetään kuitenkin sarjamuotoinen ratkaisu (Sundman v.1912, Wang v.1991)

Vielä takaisin Poincarén monistoihin… Tälle ongelmalle Hamiltonin yhtälöiden mukaan: Tästä ajatus tutkia kappaleiden kulkua kuvitteellisen tason läpi -> monistot Yllä olevan riippuvuuden myötä riittää tutkia paikkaa ja nopeutta X-komponentin suhteen Taulukoidaan näiden komponenttien arvot pisteissä jossa planeetta läpäisee moniston: Poincarén kuvaus

Tarkkaa lauseketta kuvaukselle ei yleensä saada selville Poincarén kuvauksesta yleinen menetelmä jatkuva-aikaisen N-ulotteisen dynaamisen systeemin redusoimiseksi (N-1)-ulotteiseksi diskreettiaikaiseksi systeemiksi Tarkkaa lauseketta kuvaukselle ei yleensä saada selville Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu ja moniston läpäisyjen taltiointi Tästä huolimatta varsin hyödyllinen menetelmä koska suuri osa ratojen dynamiikasta havaittavissa myös Poincarén kuvauksen kautta

3.2 Pakotettu ja vaimennettu heiluri Yksinkertainen systeemi, silti kaoottinen dynamiikka Heiluria voidaan tutkia otoskuvauksella: Idea: muodostetaan kuvaus, jota iteroimalla saadaan näytteitä jatkuva-aikaisesta systeemistä tasaisin väliajoin Esimerkki: Funktio kuvaa kappaleen lämpötilaa ajassa. Määritellään otoskuvaus f(x) jaksolla T=1: Nyt funktiota f(x) iteroimalla saadaan otoksia lämpötilasta yhden aikayksikön välein:

Pakotettu ja vaimennettu heiluri Tilanne: Jäykkä massaton varsi jonka pituus l Heiluripainon massa m Voimat: Gravitaatio: Kitka: Ulkopuolinen voima: Tavoite: Halutaan ratkaista kiertymä ja kulmanopeus ajan funktiona Kyseessä siis jatkuva-aikainen dynaaminen systeemi, jonka tila-avaruus kaksiulotteinen

Newtonin liikeyhtälöistä saadaan: Valitaan l=g jotta yhtälö yksinkertaistuu: Tärkeä havainto: jos u(t) on ratkaisu, niin myös u(t+n*2Pi) on! Tämän johdosto differentiaaliyhtälön ”vaikutus” tilamuuttujien kehitykseen vakio yhden kokonaisen syklin (2*Pi) aikana Siis muuttujien arvot muuttuvat saman verran kun alkutilanne on t=N*2*Pi riippumatta N:n arvosta

Seurauksena voimme tutkia 2*Pi jaksoista otoskuvausta: Kuten Poincarén kuvausten tapauksessa, lauseketta ei yleensä voida ratkaista ja kuvauksen arvoja joudutaan laskemaan numeerisesti iteroiden differentiaaliyhtälöä jakson 2*Pi yli Tästä huolimatta kuvauksesta on apua mm. attraktioaltaiden selvittämisessä ja graafisessa kuvaamisessa

3.3 Hénonin kuvaus Poincarén ja otos kuvauksien käyttö hankalaa koska kuvaukset täytyy laskea numeerisesti Hénonin kuvaus yksinkertainen diskreetti systeemi, jossa ilmenee suuri osa jatkuvien systeemien kaoottisista ilmiöistä: Yksi tutkituimpia kaoottisia dynaamisia systeemejä Tietynlainen vastine yksiulotteiselle logistiselle kuvaukselle

4. Kuvausten ominaisuuksia 4.1 Kuvausten kiintopisteistä Nielut, lähteet ja satulat 4.2 Lineaarikuvauksista 4.3 Koordinaatistomuunnoksista

4.1 Kuvausten kiintopisteistä Nielu ja lähde Jos kiintopisteellä on epsilon-ympäristö jonka alueella funktion arvot lähenevät ko. pistettä, on kiintopiste nielu Päinvastaisessa tapauksessa jossa funktion arvot ennen pitkää siirtyvät epsilon-ympäristön ulkopuolelle, on kyseessä lähde Kun N>1, voi kiintopiste olla myös satula Tällöin osa komponenteista lähestyy kiintopistettä ja loput loittonevat siitä

Lähde, nielu ja satula tasokuvauksissa:

4.2 Lineaarikuvauksista Lineaarikuvaus täyttää seuraavat ehdot Additiivisuus: Homogeenisuus: Lineaarikuvaukset tärkeä kuvaustyyppi Analyyttisesti ja laskennallisesti paljon helpompaa käsitellä kuin epälineaariset kuvaukset Epälineaaristen kuvausten linearisointi Lineaarikuvausta vastaa aina yksikäsitteinen matriisi

Kolme tärkeää erikoistapausta 2d-lineaarikuvauksista:

4.3 Koordinaatistomuunnoksista Vektorimuuttujan esitys riippuu valitusta koordinaatistosta Koordinaatistomuunnoksella voidaan koittaa yksinkertaistaa korkeampiulotteisten kuvausten stabiilisuuslaskelmia Koordinaatiston muunnos vektorille v voidaan tehdä kertomalla se matriisilla S jonka sarakkeet ovat uuden koordinaatiston kantavektorit Tällöin myös kuvauksen määrittävä matriisi A täytyy muuntaa: uusi matriisi: Mikäli löytyy vektori S, niin että tämä on mahdollista, ovat A ja B similaarisia

Similaaristen matriisien dynaamiset ominaisuudet ovat identtiset Näin ollen koordinaatistomuunnos ei vaikuta Determinanttiin eikä ominaisarvoihin Kiintopisteiden tyyppeihin (nielu/lähde/satula) Tämän seurauksena tiedämme kaikkien tasokuvausten dynaamisen käyttäytymisen, sillä voidaan osoittaa että kaikki tasokuvaukset ovat similaarisia yhden kolmesta edellä esitellyn matriisin kanssa!

Itse asiassa edellistä yleisempi lause pätee: Origossa oleva kiintopiste puolestaan määritellään satulaksi, mikäli yksikään ominaisarvo ei ole yksi, ja mikäli löytyy vähintään yksi itseisarvoltaan sekä ykköstä pienempi että suurempi ominaisarvo

5. Kotitehtävä Oppikirjan tehtävä T2.3: