S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lentokoneiden reititys ja skedulointi Esitelmä 23 – Olli Kaplas

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lentokoneiden reititys ja skedulointi Ongelmana 1 päivän aikataulun luominen laivueelle Koneet voivat olla erilaisia Aikataulu koostuu lentoreiteistä (legs), jotka täytyy lentää tiettyissä aikaikkunoissa, joilla on kestot ja kustannukset/voitot lentokonetyyppiä kohden Ensimmäinen ongelma on reititysongelma, eli missä järjestyksessä lennetään mitkäkin reitit Toinen ongelma on skedulointiongelma, jossa yritetään löytää tarkat lentoajat, kun kysyntä tiedetään eri aikoina

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Lentokoneiden reititys ja skedulointi Jokaiselta lentokentältä täytyy lähteä joka päivä yhtäpaljon lentokoneita samaa tyyppiä olevia lentokoneita kuin sinne tulee takaisin, jotta päivittäinen aikataulu voi rullata uudestaan.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Määritelmiä (1/3) Jokaisella lentoreitillä (leg) on määritetty kysyntä eri aikaväleillä, jonka aikana se voidaan lentää Reitti j Lentokonetyypit i=1,...., T m i konetta tyyppia i ja koneita yhteensä, Käyvät aikataulut l S i lentokonetyypille l, sisältävät lentoreittejä L i niiden lentoreittien joukko, jotka voidaan lentää lentokonetyypillä i

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Määritelmiä (2/3) Vakio a ij l on 1 jos aikataulu l sisältää reitin j konetyypillä i ja 0 muuten π ij voitto, jos lentoreitti j lennetään i tyypin koneella Odotettavissa oleva voitto lentokonetyypille i aikataululla l: π i 0 jos lentokone ei ole missään aikataulussa voidaan antaa positiivinen tai negatiivinen ”voitto/tappio” P kaikkien lentokenttien joukko ja P i, tyyppin i lentokoneille sopivien lentokenttien joukko

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Määritelmiä (3/3) Vakio o ip l on 1 jos aikataulun l S i lähtökenttä on p ja 0 muuten Vakio d ip l on 1, jos aikataulun l saapumiskenttä on lentokenttä p ja 0 muuten Päätösmuuttuja x i l saa arvon 1, jos lentoaika l lennetään koneella tyyppiä i Päätösmuuttuja x i o merkitsee käyttämättömien i tyypin koneiden määrän

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Optimointimalli Maksimoidaan voittoa 1.Jokainen reitti i kuljetaan vain kerran 2.Jokaista konetyyppiä i on maksimissaan m i kpl 3.Aikataulun päätteeksi ja lopetuksesi määritetyt kentät täytyy täsmätä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy Rajoitusehto Selkeämpi muoto 3. rajoituksesta: Jokaisella kentällä pitää alkaa yhtä monta lentoa kuin sinne loppuu niillä lentoaikatauluilla, jotka valitaan

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Branch & Bound: branch-and-price Idea on, että jaetaan ongelma pää- ja aliongelmiin. Ylärajat (UB) saadaan relaksoimalla kokonaislukurajoite ja korvaamalle se x i l ≥ 0 (1. rajoitus takaa, että x i l ≤ 1) –Kutsutaan myös sarakkeiden generointi proseduuriksi, koska huomiotta jätetyt päätösmuuttujat oletaan nolliksi.(Ne muodostavat sarakkeita alkup. ongelman yhtälöihin)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Branch & price : Pää- ja aliongelmat Pääongelma: –Generoidaan alijoukko kaikista mahdollisista lentoaikatauluista –Ratkaistaan linaariseksi relaksoitu ongelma tällä verrattain pienellä määrällä päätösmuuttujia (eli lentoaikatauluja) –Lasketaan ratkaisun duaali-muuttujien arvot; ne edustavat ”resurssien”, kuten lentoreittien, lentokoneiden ja lentokenttien yksikkökustannuksia. Aliongelma: –Tehtävä on testata onko pääongelman (kuitenkin lineerisen) tämänhetkinen ratkaisu optimaalinen kaikilla mahdollisilla aikatauluilla, käyttäen duaalimuuttujia –Duaali-muuttujia käytetään muiden kandidaattaikataulujen potentiaalisten voittojen laskemiseen,

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Branch & price : Pää- ja aliongelmat Aliongelma jatkuu... – Aliongelma vastaa pisimmän polun ongelmaa aikaikkunoiden kanssa. Tämä voidaan ratkaista dynaamisella ohjelmoinnilla. –Ratkaisu pää-ongelmaan ei ole optimaalinen jos löytyy sellaisia aikatauluja, joilla on positiivinen potentiaalinen voitto Tällöin täytyy generoida lisää kandidaattiaikatauluja aikataulujen joukkoon pääongelmaan

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Aliongelman kuvaaminen graafilla Viisi erilaista kaarta: 1.Lähdekaari menee lähdesolmusta lähtölentokenttäsolmuun 2.Nielukaari menee päätelentokenttäsolmusta nielusolmuun 3.Aikataulun aloituskaari lähtee lähtölentokenttäsolmusta ja menee lentoreittisolmuun (aikataulun täytyy alkaa näistä solmuista) 4.Aikataulun lopetuskaari menee päätelentokenttä solmuun (aikataulun täytyy loppua joihinkin näistä solmuista) 5.Käännöskaaria (turnarc) eri lentoreittisolmujen välillä. Kahden lentosolmun välillä oleva kaari on olemassa vain silloin, kun aikaikkuna vaatimukset täyttyvät (ottaen huomioon kääntymisaika lentokentällä) ja lennot voidaan lentää peräkkäin samalla koneella 6.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Aliongelman kuvaaminen graafilla jatkuu... e ij on aikaisin mahdollinen lähtemisaika reitillä j ja lentokonetyypillä i l ij on myöhäisin mahdollinen lähtemisaika reitillä j lentokonetyypillä i τ ij on lentoreitin j lentoaika, konetyypillä i δ ijk on lentoreitin j ja lentoreitin k välinen ”kääntymisaika” (turnaround time) Kääntymiskaari reittejen j ja k välillä on olemassa jos

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Graafilla G i (N i,B i ) voidaan etsiä käypiä aikatauluja lentokoneille. Aliongelman kuvaaminen graafilla

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Aliongelma jatkuu... Jokaiseen kääntymiskaareen liitetään siihen liittyvä voitto π ij (nämä vakiot tunnetaan) Merkataan α j, β i ja γ ip rajoitteisiin 1,2 ja 3 liittyviä duaalimuuttujien arvoja. Duaalimuuttujat kuvaavat voittoa siitä että näiden rajoitusten oikeapuolta kasvatetaan yhdellä ( relaksoidussa pää-ongelmassa) Potentiaalinen voitto aikataululle l suhteessa tämänhetkiseen ratkaisuun voidaan laskea:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Graafin polkujen potentiaalisen voiton tulkinta Jokaisen graafin Gi polun (aikataulun) potentiaalinen voitto voidaan laskea kaariin liitettyvien voittojen summana Kun ajatellaan voittoja ”matkoina” voidaan käyttää pisimmän polun algoritmia löytämään suurimman potentiaalisen voiton polku graafista Gi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Aliongelma jatkuu... Jos suurin potentiaalinen voitto positiivinen, lisätään aikataulu pää-ongelmaan, joka ratkaistaan uudestaan ja saadaan uusi UB. (Myös muita positiivisen potentiaalisen voiton omaavia aikatauluja voidaan lisätä) Jos minkään polun potentiaalinen voitto ei ole positiivinen, on nykyinen ratkaisu optimaalinen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Aliongelma loppuu Branchaamisstrategia pitää myös päättää –esim vanha kunnon 1-0 branchaaminen Lopuksi täytyy vielä päättää mitkä sarakkeet, eli päätösmuuttujat (aikataulut) pidetään mukana. –Voidaan pitää kaikki generoidut –Voidaan myös jollain algoritmilla karsia vanhoja pois

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esimerkki: Lentokoneiden reititys ja skedulointi 2 eri tyyppistä lentokoneetta T=2, m 1 =2 ja m 2 =2 4 lentokenttää : p=1: San Francisco (SFO) p=2: Los Angeles (LAX) p=3: New York (NYC) p=4: Seattle (SEA) Kummallakin konetyypillä voidaan lentää mikä tahansa reitti, vain voittojen määrä on eri a.m lennon täytyy lähteä 05:00 jälkeen ja laskeutua ennen klo 14:00, p.m täytyy lähteä 14:00 jälkeen ja laskeutua viim. 05:00 seuraavana päivänä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Ensimmäisten kandidaatti- aikataulujen luominen 1/2 Aikataulut tyypin 1 koneille: Aikataulu Aikataulu Aikataulu 8

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Ensimmäisten kandidaatti- aikataulujen luominen 2/2 Aikataulut tyypin 2 koneille vastaavasti:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Potentiaalisten voittojen laskeminen eri lentoaikatauluille Lentoreittien pot. voitot 1 tyypin koneiden aikataulujen pot. voitot 2 tyypin koneiden aikataulujen pot.voitot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Standardin B&B:n implementoiminen ongelmaan

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Duaalimuutujien arvot: Aliongelma täytyy muodostaa, jotta voidaan löytää käyvät aikataulut, joilla on potentiaalisia voittoja β 1 = ja β 2 = 0 (x 1 1 =1 eli 1 tyypin kone on käyttämättä)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Graafi G 1 aikataulujen 11 ja 12 kanssa Generoidaan ”pitkiä” ja käypiä ratkaisuja Käypyysehto reitin lentämiselle:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Potentiaaliset voitot generoiduille uusille aikatauluille tyyppiä 1 G 1 generoidut aikataulut Nyt otetaan mukaan aikataulut 11, 14 ja 15 koska niillä on positiiviset potentiaaliset voitot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Potentiaaliset voitot generoiduille uusille aikatauluille tyyppiä 2 G 2 generoidut aikataulut Nyt otetaan mukaan aikataulut 10, 13 ja 14 koska niillä on positiiviset potentiaaliset voitot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Pää-ongelman ratkaisu uudelleen Opitimi löydetään kun x 1 10 =x 1 11 =x 2 1 = x 2 2 =1 Kaikki potentiaaliset voitot ovat ei-positiivia

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 23 – Olli Kaplas Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Kotitehtävä Miettikää miten lentokoneiden aikataulun ja reitityksen optimointimallia voisi parantaa, mitä se ei ota huomioon. Palautus ? (Tenttiviikoilla ja joululomalla ei voi olla palautuksia) Ei kotitehtävää