Hilbertin hotelli/Hilbert’s Grand Hotel

Esitys aiheesta: "Hilbertin hotelli/Hilbert’s Grand Hotel"— Esityksen transkriptio:

1 Hilbertin hotelli/Hilbert’s Grand Hotel
Hilbertin hotelli on kuuluisan saksalaisen matemaatikon David Hilbertin(1862–1943) esittämä paradoksi äärettömyydestä. Hotelliin mahtuu äärettömän monta vierasta mutta se on tällä hetkellä täynnä eli hotellissa on äärettömän monta vierasta. Mahtuuko uusia asiakkaita vielä hotelliin?

2 Yksi uusi vieras Saadaanko hotelliin mahtumaan vielä yksi uusi vieras?
Jos saadaan, niin miten?

3 Yksi uusi vieras Jokainen vieras siirtyy seuraavaan huoneeseen eli huoneessa n oleva vieras siirtyy huoneeseen n+1. Uusi vieras pääsee näin ollen vapaaseen 1. huoneeseen. Äärettömään lisättäessä yksi saadaan ääretön eli ∞+1=∞ .

4 Jokaisella vieraalla on yksi kaveri
Jokaisella hotellin vieraalla on yksi kaveri, joka haluaa majoittua hotelliin. Saadaanko kaverit majoitettua hotelliin? Jos saadaan, niin miten?

5 Jokaisella vieraalla on yksi kaveri
Huoneessa n oleva vieras siirtyy huoneeseen 2n ja näin ollen vieraiden kaverit pystyvät majoittumaan parittomiin huoneisiin. Äärettömän monella vieraalla on äärettömän monta kaveria, joten hotelliin majoittuu ääretön vierasta sillä ∞+ ∞= ∞ .

6 Jokaisella vieraalla on 9 kaveria
Jokainen hotellin vieras päättää kutsua 9 kaveria asumaan hotelliin heidän kanssaan. Mahtuvatko kaverit vielä hotelliin? Jos mahtuvat, niin miten?

7 Jokaisella vieraalla on 9 kaveria
1. huoneessa oleva vieras siirtyy 10. huoneeseen, 2. huoneessa oleva vieras siirtyy 20. huoneeseen ja jne. eli huoneessa n oleva vieras siirtyy huoneeseen 10n. 9*∞+ ∞ = 10*∞ = ∞

8 Jokaisella vieraalla äärettömän monta kaveria
Jokainen vieras päättää kutsua äärettömän kaveria majailemaan hotelliin heidän kanssaan. Mahtuvatko kaverit hotelliin? Jos mahtuvat, niin miten?

9 Vieraat

10 Kaverit

11 Cantorin diagonaaliargumentti
Numeroituvasti ääretön joukko ihmisiä saadaan järjestettyä hotelliin Cantorin diagonaaliargumentin mukaisesti. Vieras(n,k) -> ½(n+k-1)(n+k)+k Huomataan, että ääretön kerrottuna äärettömällä on ääretön eli ∞* ∞= ∞ .