Puun määritelmä Puu on yhden tai useamman kytketyn solmun muodostama hierarkinen joukko Lehtisolmuista juurisolmuun on yksikäsitteinen polku Käytetään haku, lajittelu ja grafiikka algoritmeissa juurisolmu sisäsolmuja lehtisolmuja

Puut Puu koostuu solmuista Solmut koostuvat tietoalkiosta ja linkeistä linkki solmu tietoalkio

Puut – solmun aste Solmun aste (out-degree) tarkoittaa alipuiden lukumäärää Puun aste on maksimi solmujen asteista solmun aste = 3 solmun aste = 2

Puut – vanhempisuhde Solmu jolla on alipuita on alipuiden juurisolmujen vanhempi ja alipuiden juurisolmut ovat lapsia A:lla ei ole vanhempia B on E:n ja F:n vanhempi

Puut – lapsisuhde Solmu jolla on vanhempi on sen lapsi B, C ja D ovat A:n lapsia F:llä ei ole lapsia

Puut – sisaruussuhde Saman vanhemman lapset ovat sisaruksia A:lla ei ole sisaruksia B, C ja D ovat sisaruksia keskenään

A, B ja E ovat L:n esivanhempia Puut – esivanhemmat Kaikki solmut juurisolmusta solmun X vanhempaan ovat X:n esivanhempia A:lla ei ole esivanhempia A, B ja E ovat L:n esivanhempia

Puut – jälkeläiset Kaikki alipuun jonka juurisolmuna X on ovat X:n jälkeläisiä A: jälkeläiset ovat: B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M B:n jälkeläiset ovat: E, F, K ja L F:llä ei ole jälkeläisiä

Puut – solmun taso Juurisolmu on tasolla yksi Muiden taso on vanhemman taso + 1 taso 1 2 3 4

Binääripuu Solmun lapsien maksimimäärä on kaksi 12 3 45 7 31 55

Binääripuu toteutettuna linkeillä

Binääripuu toteutettuna taulukon avulla

Täydellinen (perfect) binääripuu Jokaisella solmulla on 0 tai 2 lasta Kaikki lehtisolmut ovat samalla tasolla A B C D E F G

Täysi binääripuu Jokaisella solmulla on 0 tai 2 lasta A B C D E

Täydellinen (complete) binääripuu Kaikki tasot ovat täynnä alinta tasoa lukuunottamatta Alimmalla tasolla solmut ovat vasemmassa reunassa A B C D E F Complete Tree

Täydellinen (complete) binääripuu Kaikki tasot ovat täynnä alinta tasoa lukuunottamatta Alimmalla tasolla solmut ovat vasemmassa reunassa A B C E F G Not a Complete Tree

Solmujen lukumäärä binääripuussa – huonoin tapaus Solmujen lukumäärä on N Huonoimmassa tapauksessa (lista) puun syvyys on N A B C

Solmujen lukumäärä binääripuussa – paras tapaus Parhaassa tapauksessa puu on täydellinen (perfect) A B C D E F G

Solmujen lukumäärä täydellisessä binääripuussa Tasolla 1 on yksi solmu Tasolla 2 on kaksi solmua Tasolla 3 on neljä solmua … Tasolla n on 2n-1 solmua

Solmujen lukumäärä täydellisessä binääripuussa Tasolla n on 2n-1 solmua n:llä tasolla on yhteensä N=1+21+22+…+2n-2+2n-1=2n-1 solmua Tällöin täydellisen (perfect) binääripuun syvyys n=log2(N+1) Täysi ja täydellinen binääripuu minimoivat puun syvyyden, joka nopeuttaa operaatioita (lisää, etsi, tuhoa).

Binäärinen hakupuu Jokaisessa solmussa on yksikäsitteinen avain vasemmat jälkeläiset < nykyinen solmu < oikeat jälkeläiset 9 6 11 5 7 10

Avaimen poisto binäärisestä hakupuusta Poistetaan avain 60

Puussa kulkeminen Läpikäyntijärjestyksiä: - esijärjestys (preorder) - sisäjärjestys (inorder) - jälkijärjestys (postorder) - tasojärjestys (level order)

Esijärjestys (preorder) juuri – vasen alipuu - oikea alipuu A B D E C F A B C void esijarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ tulosta_alkio(alkio); esijarjestys(alkio->vasen); esijarjestys(alkio->oikea); } D E F depth first-haku: “etsitään tietty haara mahdollisimman pitkälle ennen kuin peräännytään”

Binääripuu animaatioita http://www.student.seas.gwu.edu/~idsv/idsv.html

Sisäjärjestys (inorder) vasen alipuu - juuri - oikea alipuu D B E A F C A B C void sisajarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ sisajarjestys(alkio->vasen); tulosta_alkio(alkio); sisajarjestys(alkio->oikea); } D E F • hakupuun sisältö aakkostettuna

Binäärisen hakupuun läpikäynti sisäjärjestyksessä (inorder) Järjestys: vasen alipuu - juuri - oikea alipuu 5 6 7 9 10 11 9 6 11 void sisajarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ sisajarjestys(alkio->vasen); tulosta_alkio(alkio); sisajarjestys(alkio->oikea); } 5 7 10

Jälkijärjestys (postorder) vasen alipuu - oikea alipuu – juuri D E B F C A A B C void jalkijarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ jalkijarjestys(alkio->vasen); jalkijarjestys(alkio->oikea); tulosta_alkio(alkio); } D E F

Tasojärjestys (level order) A B C D E F A B C D E F breadth first haku: “etsitään tietyllä etäisyydellä juuresta olevia solmuja.”

Maksimi- ja minimikeko Täydellinen binääripuu jonka jokaisen solmun avain on suurempi (pienempi) tai yhtäsuuri kuin lasten avain Suurimman (pienimmän) alkion etsiminen on nopeaa

Valintapuu