Ketjusääntö Ketjusääntö z = g (y) y = f (x) x z x+x y y+y z+z z+z = g (y+y) Ketjusääntö TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Esimerkki: Lasketaan derivaatta y’, kun y = (x + ex)5. Tässä voidaan käyttää yhdistetyn funktion derivointikaavaa tai toimia seuraavasti: jaetaan lauseke kahteen osaan w = w(x) = x+ex y = y(w) = w5 sovelletaan ketjusääntöä TMA.003 / L5 (25.9.2003)

4.3. Interpolointi Lineaarinen interpolointi x1 x x2 y1 y2 y ^ TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Jos edellä x  (x1, x2), niin kaavat ovat edelleen käytettävissä, menettelyä sanotaan ekstrapoloinniksi. Ekstrapolointi saattaa olla epäluotettava menettely. INTERPOLOINTI EKSTRAPOLOINTI x1 x x2 x1 x2 x TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Esimerkki: Olkoon kysyntäfunktio melkein lineaarinen. Kokemuksesta tiedetään, että jos valmistusmäärä on 75, niin hinta on 12,35€ ja jos valmistusmäärä on 105, niin hinta on 11,05€. Arvioi lineaarisen interpoloinnin avulla hintaa, jos valmistusmäärä on 85. q p 75 12.35 p 85 105 11.05 TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Yleisemmin: Kohdassa q hinta p on likimain 75 12.35 105 11.05 TMA.003 / L5 (25.9.2003)

DIFFERENTIAALI Tunnetaan funktion f arvo kohdassa x ja funktion f derivaatan arvo kohdassa x. Arvioidaan funktion f arvoa kohdassa x + x. dy y x x+x x y y = f (x) Kun x on pieni, niin y  dy Siis TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Esimerkki 1: Arvioidaan lausekkeen arvoa. Olkoon x = 81, x = 1 ja f (x) = x1/2. Nyt f ’(x) = 0,5x-1/2. (Oikea arvo: ~ 9,05539) Esimerkki 2: Sama interpoloimalla. Olkoon x1 = 81, y1 = 9, x2 = 82.81, y2 = 9.1. Nyt TMA.003 / L5 (25.9.2003)

KONVEKSI ja KONKAAVI Sanomme, että funktio f on välillä (a,b) konveksi, jos sen kuvaajan kahta pistettä (x1,y1) ja (x2,y2) yhdistävä avoin jana on kuvaajan yläpuolella x1, x2  (a,b). Vastaavasti sanomme, että funktio f on välillä (a,b) konkaavi, jos sen kuvaajan kahta pistettä yhdistävä avoin jana on aina kuvaajan alapuolella. KONVEKSI KONKAAVI TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Lause: Olkoon x  (a,b) ja y = f (x). Olkoon y# lineaarisella interpoloinnilla saatu arvio y:lle ja olkoon y* differentiaalin avulla saatu arvio y:lle. Silloin (1) Jos f on konveksi välillä (a,b), niin y*  y  y#. (2) Jos f on konkaavi välillä (a,b), niin y#  y  y*. TMA.003 / L5 (25.9.2003)

4.4. VÄLIARVOLAUSE Lause: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Tällöin välillä (a, b) on olemassa ainakin yksi kohta  siten, että siinä kohdassa käyrää y = f (x) sivuava tangentti on pisteitä (a, f (a)) ja (b, f (b)) yhdistävän suoran suuntainen eli a b  TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Jos f ’(x) > 0 kaikilla a < x < b, niin f (b) > f (a). Seuraus: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Jos f ’(x) > 0 kaikilla a < x < b, niin f (b) > f (a). Miksi: Välillä (a, b) on olemassa ainakin yksi kohta  siten, että a b  TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Seuraus 2: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Jos f ’(x) > 0 kaikilla a < x < b, niin f on kasvava. Seuraus 3: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Jos f ’(x) on kasvava funktio välillä [a, b] ja f ’(x0) = 0, a < x0 < b, niin funktiolla f on kohdassa x = x0 lokaali minimi. y = f ’(x) y = f (x) TMA.003 / L5 (25.9.2003)

4.5. Korkeammat derivaatat Derivaatan derivaatta on toisen kertaluvun derivaatta Vastaavasti määritellään n:n kertaluvun derivaatta TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Jos f on jatkuva ja kahdesti jatkuvasti derivoituva välillä (a, b), niin f ’’(x) > 0 välillä (a, b)  f ’(x) on kasvava välillä (a, b)  f (x) on konveksi välillä (a, b)  derivaatan nollakohdassa minimi f ’’(x) < 0 välillä (a, b)  f ’(x) on vähenevä välillä (a, b)  f (x) on konkaavi välillä (a, b)  derivaatan nollakohdassa maksimi TMA.003 / L5 (25.9.2003)

4.6. Paikallinen ääriarvo Perustapaukset kuvina (LOKAALI MAKSIMI): Sileä maksimi. Derivaatan nollakohta. Kärki. Derivaatan epäjatkuvuuskohta. Epäjatkuvuuskohta. Funktion epäjatkuvuuskohta. Reunakohta. TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Lisää perustapauksia kuvina (EI LOKAALIA MAKSIMIA): Sileä funktio. f ’(x0) = 0, mutta silti f on kasvava. Sileä funktio. f ’(x0)  0 Epäjatkuvuuskohta. Ei ole lokaali maksimikohta. Kärki, mutta silti f on vähenevä. TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Olkoon f jatkuva ja derivoituva välillä (a, b) ja a < x0 < b, jos f ’(x) + | - , niin x0 on lokaali maksimikohta jos f ’(x) - | + , niin x0 on lokaali minimikohta x0 (Ylläoleva pätee myös, kun kohdassa x0 on kärki.) TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Olkoon f jatkuva välillä [x0, b) ja derivoituva välillä (x0, b), niin jos f ’(x) | - , niin x0 on lokaali maksimikohta jos f ’(x) | + , niin x0 on lokaali minimikohta x0 TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Jos f on jatkuva ja kahdesti jatkuvasti derivoituva välillä (a, b), ja a < x0 < b, niin jos f ’(x0) = 0 ja f ’’(x0) < 0, niin x0 on maksimikohta jos f ’(x0) = 0 ja f ’’(x0) > 0, niin x0 on minimikohta TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Osittaisderivaatta Olkoon z = f (x,y). Kun y:tä pidetään vakiona ja derivoidaan x:n suhteen, sanotaan tulosta z:n osittaisderivaataksi x:n suhteen. Merkitään osittaisderivaattaa Idea pähkinänkuoressa: TMA.003 / L5 (25.9.2003)

5. Sovelluksia talousmatematiikkaan 5.1 Rajasuureet eli marginaaliset suureet Tarkastellaan yritystä, joka valmistaa kuukaudessa q tuotetta ja myy ne hintaan p (e/tuote). Tuotannosta aiheutuu kustannus C(q). Myyntitulo on R(q) = pq. TMA.003 / L5 (25.9.2003)

q C(q) C p R R 100 1000 5 12,00 1200,00 6,95 101 1005 11,95 1206,95 6,85 102 1010 6 11,90 1213,80 6,75 103 1016 11,85 1220,55 6,65 104 1022 7 11,80 1227,20 6,55 105 1029 11,75 1233,75 6,45 106 1036 8 11,70 1240,20 6,35 107 1044 11,65 1246,55 6,25 108 1052 9 11,60 1252,80 6,15 Ok Ok Ok Ok Stop TMA.003 / L5 (25.9.2003)

* Rajatuotto MR = kokonaistuoton lisäys, kun tuotannon määrää lisätään yhdellä * Rajakustannus MC = kokonaiskustannuksen lisäys, kun tuotannon määrää lisätään yhdellä Kun muutokset ovat pieniä, voimme arvioida melko luotettavasti, että  TMA.003 / L5 (25.9.2003)

5.2 Joustot Tarkastellaan tilannetta, jossa x kasvaa arvosta 150 arvoon 156 (x = 6, (eli 4%)) ja se aiheuttaa y:n arvossa muutoksen arvosta 50 arvoon 54 (y = 4, (eli 8%)). Suhteellisten muutosten suhde eli jousto (elasticity) on nyt Jos y = f (x), niin y:n jousto x:n suhteen on TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Esim. Miten paljon muuttuu tuotteen kysyntä, jos sen hintaa nostetaan 10.25 eurosta 11.50 euroon. Alussa kysyntä on 340 tuotetta viikossa ja kysynnän hintajousto on -1.75. p = 10.25 p = 1.25 q = 340 q = x ?  =-1.75 TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Esimerkki: Naudanlihan kysyntä Qn riippuu tulotasosta Y, naudanlihan hinnasta pn ja sianlihan hinnasta ps seuraavasti Olkoon tällä hetkellä tulotaso Y = 10 000 jahinnat pn = 200 ja ps = 100, jolloin Qn = 5000. a) Naudanlihan kysynnän tulojousto: Kun siis tulotaso nousee 1%:lla, niin naudanlihan kysyntä kasvaa 0.2%:lla. TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Kun siis naudanlihan hinta nousee 1%:lla, niin naudanlihan kysyntä laskee 0.2%:lla. b) Naudanlihan kysynnän hintajousto: Kun siis sianlihan hinta nousee 1%:lla, niin naudanlihan kysyntä kasvaa 0.03%:lla. c) Naudanlihan kysynnän ristijousto: TMA.003 / L5 (25.9.2003)

Hinta p ja kysynnän hintajousto  = (dq/q)/(dp/p) määräävät rajatuoton seuraavasti: Kysynnän hintajousto on negatiivinen ( < 0), joten rajatuotto on pienempi kuin yksikköhinta MR < p TMA.003 / L5 (25.9.2003)