S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Evoluutiopeliteoria: stabiilisuudesta Jarno Leppänen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Populaatiomalli Populaatioon kuuluvien yksilöiden välinen pareittainen kamppailu Yksilöt omaksuvat jonkin strategioista i, j,... (edustavat ko. genotyyppiä) W i kuvaa strategian i omaksuvien yksilöiden kelpoisuutta ja p i suhteellista osuutta populaatiossa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Populaatiomalli kelpoisuus keskimääräinen kelpoisuus suht. osuus seuraavassa sukupolvessa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Populaatiomalli Populaation kehitystä kuvaavat differenssiyhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon Voidaan approksimoida dy:illä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Populaatiomalli Yhtälöissä oikealla kaikilla i kerroin 1/W i, joten skaalataan muotoon Yksinkertaistus onnistuu vain symmetrisillä peleillä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus Mallissa yksilöt saattoivat omaksua ainoastaan puhtaan strategian. Populaation stabiili tila on siten stabiili geneettinen polymorfismi, eli genotyyppien sekoitus. Evolutionaarisesti vakaa strategia (ESS) sen sijaan koskee yksittäisen agentin omaksumaa strategiaa.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus "A population is said to be in an evolutionarily stable state if its genetic composition is restored by selection after a disturbance, provided the disturbance is not too large." "An ESS or evolutionarily stable strategy is a strategy such that, if all the members of a population adopt it, no mutant strategy can invade."

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus Välttämättömät ja riittävät ehdot sille, että strategia I on ESS kaikilleJ ≠ I E(I, I) > E(J, I) taiE(I, I) = E(J, I) ja E(I, J) > E(J, J)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus Mitä ESS-ehdot oikeastaan kertovat populaation stabiileista tiloista? Onko ESS sama kuin stabiili populaatio? Miten populaation differenssi- ja differentiaalimallien käyttäytyminen eroaa toisistaan?

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus Olkoon p populaation genotyyppien jakauma ja P sekastrategian todennäköisyysjakauma Voidaan todistaa seuraavat päätelmät

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus i.P täyttää ESS-ehdot kaikille sekastrategioille → strategian P omaksuneiden yksilöiden muodostama populaatio on stabiili. ii.Vain kaksi sallittua puhdasta strategiaa (haukka/kyyhky) → sekä strategian P omaksuneiden yksilöiden muodostama populaatio että vastaava polymorfinen populaatio p on stabiili.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus iii.> 2 puhdasta strategiaa, jatkuva dynamiikka (dy) ja P täyttää ESS:n ehdot kaikille sekastrategioille → vastaava populaatio p = P on stabiili –Ei riitä, että P on ESS puhtaille strategioille!

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus iv.Käänteinen ei päde – p voi olla stabiili, vaikkei vastaava sekastrategia P olisi ESS.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus v.Diskreetti dynamiikka, vain puhtaita strategioita → ESS-ehdot eivät ole välttämättömiä eivätkä riittäviä –Edellisen sivun esimerkki, KPS

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus Polymorfismin ja vastaavan sekastrategian stabiilisuuden suhde on mutkikas. Mutta, jos strategia P täyttää ESS-ehdot kaikille sekastrategioille, P on ESS ja siten uninvadable.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus Jos strategiajoukko on jatkuva, ESS voi olla heikosti tai vahvasti stabiili. Sukupuolijakaumapeli x kuvaa jakaumaa, joka maksimoi yksilön jälkeläisten lukumäärän (kelpoisuuden) keskimääräisen jakauman x vallitessa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Stabiilisuus ESS:t A, B ja C B heikosti stabiili, pienet poikkeamat jakaumassa johtavat siirtymisen pisteeseen A tai C

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Retaliaatio Haukka-kyyhky-pelin laajennus (a) i.R, Retaliator: uhkaa, hyökkää vastustajan hyökätessä ii.B, Bully: hyökkää, pakenee vastustajan hyökätessä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Retaliaatio Pelissä (a) taistelevat kyyhkyt jakavat hyödyn puoliksi. Pelissä (b) kyyhkyjen käymän viivytystaistelun odotettu hyöty on nolla. Pelien dynamiikka on kuitenkin sama – stabiileja tiloja ei ole. –R ja D ovat identtisiä, kun H:ta ja B:tä ei esiinny.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Retaliaatio Pelillä (c) on kaksi ESS:ää (Q, P) –R osaa hyödyntää D:n hyökkäämättömyyttä –H:lla on etu R:iin nähden H:n hyökkäysalttiuden takia

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Jarno Leppänen Optimointiopin seminaari - Kevät 2008 Kotitehtävä Onko strategia B ESS? Mitä osaat sanoa vastaavan homomorfisen populaation stabiilisuudesta?