S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaaos differentiaaliyhtälöissä, osa 2/2 Jarto Niemi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Sisältö Differentiaaliyhtälösysteemin Ljapunovin luvut Kaootisen radan määritelmä Kolme esimerkkitapausta –Rösslerin attraktori –Chuan elektroniikkapiiri –Duffing oskillaattori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Autonomisen differentiaaliyhtälön vuo Vuo F(t,v) on funktio, joka esittää alkuarvotehtävän ratkaisun F(t,v)=w, pätee w= u(t) missä u(t) on ratkaisun arvo ajanhetkellä t alkuarvotehtävälle :

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Vuo ja T-aika kuvaus Valitaan F(t,v):ssä kiinteä t=T Merkitään F(T,v)=F T (v) T-aikakuvaus –kuvaa missä ollaan w(t) ajanhetkellä t kun aluksi oltiin v:ssä F T (v)derivaatta v:n suhteen DF T (v)=J T (v) –kuvaa u(T) riippuvuutta alkuarvosta u(0)=v Jacobin matriisi jota merkitään J T (v)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Ljapunovin eksponentit ja luvut Määritelmä Autonomisen differentiaaliyhtälösysteemin Ljapunovin luvut(eksponentit) ovat vastaavan T- aikakuvauksen F T (v) Ljapunovin luvut(eksponentit) Yleensä T=1

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Ljapunovin lukujen määrääminen Ljapunovin lukujen laskemiseen tarvitaan J T Funktiota F T (v) ei yleensä voida esittää analyyttisessä muodossa J T matriiisia ei voida laskea suoraan J T voidaan laskea differentiaaliyhtälöllä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 J T :n differentiaaliyhtälö Lause Missä A(t) on f:n Jacobin matriisi kehitettynä pitkin rataa du(t)/dt=f(u(t)) u(0)=v

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Dissipaatio Differentiaaliyhtälösysteemi on dissipatiivinen jos sen T-aikakuvaus kutistaa tilavuutta kaikilla T>0 Huom : Jos niin systeemi dissipatiivinen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaoottisuus Määritelmä: Ratkaisu (rata) Ft(v 0 ) on kaoottinen jos 1) Ft(v 0 ), t>0 on rajoitettu 2) Ft(v 0 ):lla on ainakin yksi positiivinen Ljapunovin eksponentti 3) radalla ei ole rajasykliä eikä rajajoukko w(v 0 ) koostu pelkästään tasapainopisteistä ja niiden kytkentäkaarista

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkkejä Kaksi tarkastelutapaa –pyritään osoittamaan kaoottisen radan ominaisuudet 1-3, tässä tarkasteltu ominaisuutta 2 ja ominaisuuden 3 helppoa osaa eli tasapainotilaa –pyritään hajoittamaan systeemi osiin joita voisi anaysoida, tässä esitetty joitain yrityksiä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rösslerin attraktori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rösslerin attraktori Radat näyttävän olevan rajoitettuja mutta tässä ei todistettu Ljapunovin eksponentit c=14 –0.0696, , Tasapainopisteet epästabiileja parametrin c:n tarkasteluvälillä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rössler attraktori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rössler attraktori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chuan syteemi Kuvaa reaalimaailman ilmiötä Parametrit

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chuan systeemi Radat ilmeisesti rajoitettuja, ei todistettu Ljapunovin eksponentit c3= c3= c3=33 Tasapainopisteet eivät ole stabiileja –(0,0,0),(-1.5,0,1.5) ja (1.5,0,1.5) –Origossa yksi reaalinen ominaisarvo >0 kompleksinen juuripari jonka reaaliosa <0 Kahdessa muussa tasapainopisteessä Yksi reaalinen ominaisarvo <0 Kompleksisen juuriparin reaaliosa >0

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chuan systeemi Otetaan tarkasteluun mukaan tasapainopisteiden ’ominaistasot’ Ominaistaso : n on A t :n ominaisvektori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chua, ominaisarvot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chua, c3=50

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chua c3=33.6, Ljapunovin eksponenit

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chua c=33.6 attraktori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Chua C3=33

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Duffingin yhtälö Heiluriliike Autonominen systeemi Parametrit

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Duffingin yhtälö Ei rajoitettu Ei tasapainoratkaisua Ljapunovin eksponentit vaikea laskea

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Duffingin yhtälö c=0.02

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 16 - Jarto Niemi Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä Etsi Rösslerin attraktorin tasapainopisteet ja niiden ominaissuorat (reaalista ominaisarvoa vastaava) ja ominaistasojen normaalit Onko tasoista mitään hyötyä systeemin analyysissä