S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Fraktaalit Ville Brummer

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Määritelmä •Ei yleismaailmallista määritelmää •Fraktaalilla on kuvio, jolla jokin tai kaikki seuraavista ominaisuuksista (kirjan määritelmä): –Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity) –Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla –Voidaan määritellä fraktaalidimensio, joka ei ole kokonaisluku •Käyttötarkoitus: Geometria kaoottisten funktioiden visualisointiin (Vrt. Euklidinen geometria ja klassinen mekaniikka)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Kaalifraktaali

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esitelmä •Sisältö –Fraktaalien muodostaminen •Cantorin joukot •Fraktaalien muodostus –Systeemien kuvaus fraktaaleilla •Fraktaalit deterministisissä systeemeissä •Altaiden rajat –Fraktaalin dimensio •Määritelmä •Laatikkodimensio •Korrelaatiodimensio

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Cantorin joukot (Cantor sets) = K= Keskikolmasosa Cantorin joukko (middle-third Cantor set) Ensimmäinen ja yksinkertaisin fraktaali

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Fraktaalien muodostaminen •Iteroitu funktiosysteemi (iterated function system) –Kokoelma funktioita, joita vastaa todennäköisyydet •Radan muodostus –Valitse –Arvo todennäköisyysjakaumasta p funktio –Laske –Arvo todennäköisyysjakaumasta p funktio –Laske –Jne. •Fraktaali muodostuu pisteistä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Cantorin joukko • •Iteraatiot kulkevat joukolla K

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Luisevan leipurin kuvaus (skinny baker map) • •Iteraatiot kulkevat joukolla

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Fraktaalit deterministisissä systeemeissä •Fraktaali on tapa kuvata funktiota •Värin tummuus voi kuvata esim. sitä, kuinka nopeasti iterointi karkaa äärettömyyteen (esim. musta; heti, valkoinen; ei koskaan) •Esim. puoleensavetävät radat ja altaat ovat monesti fraktaaleja

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Keskeisiä määritelmiä •Puoleensavetävä jaksollinen rata: –Olkoon f kuvaus :ssä ja jaksollinen rata –p on f:n puoleensavetävä jaksollinen rata, jos sen lähistöllä olevat pisteet lähestyvät sitä •Allas: –Olkoon f kuvaus :ssä ja p nielu tai puoleensa vetävä jaksollinen rata –X on p:n allas, jos se iteraatiokierrosten edetessä kulkee p:hen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Hénonin puoleensavetävät radat (Hénon attractors) • •Etsitään joukko, josta iteraatio ei karkaa äärettömyyteen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Hénonin allas (Hénon basin) • •Etsitään joukko, josta iteraatiot karkaavat äärettömyyteen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Julian joukot • •c = i •Valkoinen alue on kolmiperiodisen puoleensavetävän radan allas

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Julian joukot • •c = i •Valkoinen alue on 11- periodisen puoleensavetävän radan allas

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki 1: Mandelbrotin joukko • •M = {c: Rata origosta pysyy rajoitettuna} (valkoinen alue)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Fraktaalin dimensio •Monia eri tapoja määrittää •Tässä käydään läpi –Laatikkodimensio –Korrelaatiodimensio

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Laatikkodimensio (box-counting dimension) •Valitaan joukko ja •Lasketaan kuinka monta - mittaista laatikkoa tarvitaan peittämään joukko S •Laatikkojen määrä: •Joukon S dimensio on d •Esim. – Välin [0,1] peitoksi tarvitaan laatikkoa, joten sen dimensio d=1 –Joukon [0,2] x [0,2] peitoksi tarvitaan laatikkoa, joten sen dimensio d=2

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Laatikkodimension laskeminen • •Laatikkodimensio: •Aina ei voida laskea dimensiota analyyttisesti –numeeriset ratkaisut –approksimointi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Keskikolmasosa Cantorin joukon K dimension laskeminen • koostuu intervallista, joiden leveys on •Yhden intervallin täyttöön tarvitaan kpl -mittaista laatikkoa •Koko joukon täyttöön siis tarvitaan täyttöön tarvitaan laatikkoa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Korrelaatiodimensio •Olkoon kuvauksen f rata ja kuvauksen f rata N:llä iteraatiolla •Lasketaan C(r) •C(r) on siis suhde kahdesta kokonaisluvusta: i)#(Lukuparit, joiden etäisyys on pienempi kuin r) ii)#(Kaikki lukuparit) • Saadaan korrelaatiodimensio d

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Korrelaatiodimension laskeminen •Määritellään:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Mitä opimme •Fraktaalin määritelmä –Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity) –Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla –Voidaan määritellä fraktaalidimensio, joka ei ole kokonaisluku •Fraktaalien muodostaminen –Cantorin joukko –Fraktaalien muodostus iteroidulla funktiosysteemillä •Fraktaalien yhteys kaoottisiin systeemeihin –Esimerkiksi puoleensavetävät radat ja altaat ovat monesti fraktaaleja •Fraktaalin dimensio –Laatikkodimensio –Korrelaatiodimensio

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Fraktaalit – Ville Brummer Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä (Computer experiment 4.1) •Olkoon iteroitu funktiosysteemi •Piirrä systeemin muodostama fraktaali