Kausaaliverkot ja todennäköisyyslaskennan kertaus Sivut 3-17 Juuso Liesiö

Sisältö Päättely epävarmuuden vallitessa Kausaaliverkot Erilaiset kytkennät, evidenssin välittyminen d-erotuksen käsite Todennäköisyyslaskennan kertaus Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Ehdollinen riippumattomuus Potentiaalit

Päättely epävarmuuden vallitessa Esim. Auton käynnistymisen epävarmuus Kuinka todennäköisesti auto käynnistyy? Käynnistymiseen vaikuttavat polttoaineen määrä ja sytytystulppien puhtaus ja ne ovat epävarmoja Toisaalta näyttääkö polttoainemittari oikein? Jos totean mittarin näyttävän tankin olevan täynnä, onko käynnistymisen epävarmuus muuttunut? Jos auto ei käynnistynyt ja mittari näyttää tankin olevan täynnä, muuttuuko sytytystulppien puhtauteen liittyvä epävarmuus

Päättely epävarmuuden vallitessa Ongelmamme sisältää Tilaltaan epävarmat muuttujat Muuttujien mahdolliset tilat Kausaalisuhteet (syy-seuraussuhteet) Tämä on kausaaliverkko! Polttoainetta? {kyllä, ei} Puhtaat sytytystulpat {kyllä, ei} Käynnistyykö? Mittarin asento {0%,50%,100%}

Kausaaliverkot (1/2) Kausaaliverkko on suunnattu verkko Solmut kuvaavat muuttujia Muuttujalla äärellinen määrä mahdollisia tiloja Tila yksikäsitteinen, mutta epävarma Kaaret kuvaavat kausaalisuhteita Käyttö: Vaikuttaako epävarmuuden muutos yhden muuttujan tilasta toisen muuttujan tilojen epävarmuuteen? Ei kiinnitetä epävarmuuden laskennallista mallia

Kausaaliverkot (2/2) Muuttujien suhteista C B D Muuttujien suhteista B on A:n lapsi A on B:n vanhempi Lapset ja vanhemmat ovat naapureita B, C ja D ovat A:n jälkeläisiä Epävarmuus muuttujien tilasta Evidenssi: tietoa tilojen epävarmuudesta Kova evidenssi  tila tunnetaan, tila ilmentynyt Pehmeä evidenssi  tilan epävarmuus muuttuu

Sarjakytkentä Evidenssi voi välittyä sarjakytkennän läpi (kumpaankin suuntaa), ellei kytkennässä olevan muuttujan V tila ole tunnettu (ilmentynyt) Flussa lisää pahoinvoinnin todennäköisyyttä, mikä puolestaan lisää kalpeuden todennäköisyyttä Jos ihminen voi pahoin, ei tieto flunssasta muuta kalpeuden todennäköisyyttä A B V Pahoinvointi Flunssa Kalpeus

Haarautuva kytkentä Evidenssi voi välittyä lapsien välillä ellei haarassa olevan muuttujan V tila ole tunnettu (ilmentynyt) Pitkä ihminen on todennäköisesti mies ja miehillä on todennäköisesti on lyhyet hiukset Jos tiedät että kyseessä on mies, ei tieto pituudesta vaikuta hiustenpituuteen liittyvään epävarmuuteen V C B E ... Sukupuoli Hiusten pituus Pituus

Yhdistyvä kytkentä C B E ... Evidenssi välittyy vanhempien välillä vain jos jälkeläisten ( ) tilasta on evidenssiä (muuta kuin vanhemmista johdettua informaatiota) Sekä salmonella että flunssa voivat aiheuttavaa paihoinvointia, eikä tieto flunsasta muuta salmonellan epävarmuutta Jos henkilö todetaan kalpeaksi, tieto että flunssaa ei ole nostaa salmonellan todennäköisyyttä Salmonella Pahoinvointi Flunssa Kalpeus

D-erotus (1/5) Määritelmä: d-erotus (direction dependent criterion of connectivity) Kaksi muuttujaa A ja B ovat d-erotetut jos kaikilla poluilla A:sta B:hen löytyy muuttuja V s.e. 1) kytkentä on sarjakytkentä tai haarautuva kytkentä ja V on ilmentynyt 2) tai kytkentä on yhdistyvä ja V tai sen jälkeläiset eivät ole saaneet evidenssiä A B V ... A B ... V A B ...

D-erotus (2/5) Väite: Jos A ja B ovat d-erotettuja, niin epävarmuuden muutos A:ssa ei vaikuta B:n epävarmuuteen Ilman tietoa auton käynnistymisestä, tieto sytytys-tulppien puhtaudesta ei vaikuta polttoaineen olemassaolon tai mittarin asentoon liittyvään epävarmuuteen Polttoainetta? {kyllä,ei} Puhtaat sytytystulpat {KYLLÄ, ei} Käynnistyykö? {ei,kyllä} Mittarin asento {0%,50%,100%}

D-erotus (3/5) Kun e on kova evidenssi, F on d-erotettu A:sta E:stä D:n kautta sarjakytkentä, D ilmentynyt B:n kautta sarjakytkentä, B ilmentynyt E:stä B:n kautta haarutuva kytkentä, B ilmentynyt G:stä D:n kautta haarautuva kytkentä, D ilmentynyt

D-erotus (4/5) Kun e on kova evidenssi, A on d-erotettu ainoastaan G:sta: Evidenssi A:sta välittyy polkua A-D-H-K-I-E-C-F-J-L

D-erotus (5/5) Kun e on kova evidenssi E ei ole d-erotettu F:stä, B:stä tai A:sta Evidenssi välittyy polkua E-H-F-B-D-A E on siis d-yhdistetty F:n, B:n ja A:n kanssa, vaikka kaikki E:n naapurit ilmentyneet

Markov-peite (1/2) Määritelmä: Markov-peite Huomio Muuttujan A Markov-peitteeseen kuuluvat A:n vanhemmat ja lapset sekä lasten muut vanhemmat Huomio Jos A:n Markov-peitteen kaikki muuttujat ilmentyneet, niin A on d-erotettu muusta verkosta

Markov-peite (2/2) Punaisella E:n Markov-peite, jonka kaikki muuttujat ovat ilmentyneet Nyt E on d-erotettu A:sta ja B:stä, koska kaikilla poluilla on sarjakytkennässä ilmentynyt muuttuja Siis muuttujat C, D ja F

Tapahtumat ja todennäköisyys Tapahtuman a todennäköisyys P(a) i) Tapahtuma a on varma, jos P(a)=1 ii) Jos tapahtumat a ja b ovat toisensa poissulkevia eli niin Ehdollinen todennäköisyys a:n todennäköisyys jos b on tapahtunut on x Merkintä P(a|b)=x Huom! Merkintä olettaa että kaikki muut tapahtumat ovat epäoleellisia a:lle

Perussääntö ja Bayesin kaava Todennäköisyyslaskun perussääntö , missä P(a,b) on todennäköisyys että tapahtuu a ja b Ehdollistaminen tapahtuman c suhteen Bayesin kaava Perussäännöstä seuraa , eli Bayesin kaava

Likelihood Ehdollinen todennäköisyys P(a|b) Nimitetään myös “a:n likelihood ehdolla b” ja merkitään L(a|b) Esim. eri skenaarioita joilla vaikutus a:n tapahtumiseen ja tiedetään että a on tapahtunut. Kuinka todennäköistä on, että on a:n syy kun ?

Satunnaismuuttujat (1/4) Satunnaismuuttuja A Mahdolliset (toistensa poissulkevat) tilat A:n Todennäköisyys jakauma yli tilojen Todennäköisyys sille, että Kun on selvä mihin satunnaismuuttujaan viitataan, merkitään

Satunnaismuuttujat (2/4) Olkoon B satunnaismuuttuja, jolla tilat P(A,B) on n kertaa m taulukko, jossa alkioina todennäköisyydet P(A|B) on n kertaa m taulukko, jossa alkioina todennäköisyydet Taulukoilla laskeminen Merkitään Lasketaan

Satunnaismuuttujat (3/4) Marginalisointi P(A,B):n avulla voidaan laskea reunajakauma P(A) Tapahtumat toistensa poissulkevia, joten ii)-aksiooman perusteella Merkintä

Satunnaismuuttujat (4/4)

Ehdollinen riippumattomuus (1/2) Ajatellaan sarjaan kytkentää Jos tiedetään ei tieto C:stä vaikuta A:n epävarmuuteen Muuttuja A ja C ovat riippumattomat annettuna muuttuja B Todennäköisyyksillä asia ilmaistaan Merkitään , vaikka taulukot ovat eri dimensiota A C B

Ehdollinen riippumattomuus (2/2) Ehdollinen riippumattomuus on symmetrinen Jos pätee niin käyttämällä Bayesin kaavaa Seuraus Jos pätee , niin A C B

Potentiaalit Todennäköisyystaulukoita nimitetään yleisemmin potentiaaleiksi Esim. , jolloin potentiaalin määrittelyjoukko on Näitä voidaan kertoa ja marginalisoida, kuten edellä nähtiin Tuloksena uusi potentiaali Kertomisella ja marginalisoinnilla tärkeitä ominaisuuksia

Potentiaalien kertominen Olkoon A ja B satunnaismuuttujia Alkioittain pätee Olkoon A, B ja C satunnaismuuttujia

Potentiaalien marginalisointi (1/4) iv) Yksikköpotentiaalille 1 pätee Marginalisointi Merkintä eli “summataan yli A:n” Mariginalisointi järjestys on vaihdettavissa Esim.

Potentiaalien marginalisointi (2/4) Marginalisointia C:n suhteen ei tarvitse tehdä potentiaaleille, joiden määrittelyalueeseen C ei kuulu Esim.

Potentiaalien marginalisointi (3/4) Ehdollistetun muuttujan marginalisointi tuottaa yksikkö potentiaalin Esim. on summa toistensapoisulkevien tapahtumien yli ja toisaalta on varmaa että A saa jonkin arvon, joten

Potentiaalien marginalisointi (4/4) Vaihtoehtoinen merkintä marginalisoinnille V joukko muuttujia, joita “ei summata yli” “Projektoidaan V:lle” Ominaisuudet uudella notaatiolla