2. välikokeen koealue kalvoina työ, teho, hyötysuhde energiaperiaate väliaineen vastus törmäysprobleemat J. Teeriaho 2004

Työ, teho ja energia Tässä luvussa määritellään, mitä tarkoitetaan voiman tekemällä työllä, määritellään teho, tarkastellaan koneita ja niiden hyötysuhteita. Lisäksi tarkastellaan energiakäsitettä, joka tarkoittaa kykyä tehdä työtä. Aluksi esitetään mekaanisen energian lajit , mekaanisen energian säilymislaki ja sen sovelluksia.

Työ W (Work) määritelmä Voima F vaikuttaa kappaleeseen, joka liikkuu voiman vaikutuksesta matkan s F Jos voima ja kuljettu matka ovat samansuuntaiset, voiman F tekemä työ W = F s s Jos voima ja matka muodostavat kulman , voiman F tekemä työ W = F s cos  s  F Huom! Jos voima ja kappaleen liike ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ei voima tee työtä. Tällöin kappaleen energia ei muutu. Mm. kun maan vetovoima vaikuttaa kuuhun, on se kohtisuorassa kuun rataa vastaan, eikä tee työtä.

Työn yksikkö Joule - nostotyö Kaavasta W = F s saadaan työn yksiköksi 1 Nm = 1 J (= 1 Joule) Esim1. Nostettaessa 1 kg painoinen esine 50 cm korkeuteen tehdään työ F s = mg h = 1kg*9.81 m/s2 * 0.5 m = 5 J Esim2. Kun 80 kg painoinen henkilö nousee Ounasvaaran laelle (korkeusero kaupungilta 110 m) , hän tekee työn W = mgh = 80 kg*9.81 m/s2* 110m = 86328 J = 86 kJ kaava: NOSTOTYÖ W = mgh

Teho P (Power) Arkiajattelussa tehokkain on se, joka suorittaa saman työn lyhimmässä ajassa. Teho määritelläänkin työnä aikayksikössä Määr: TEHO P = W / t = työ / aika tehon yksikkö on 1 J/s = 1 W = 1 Watti Esim1. Jos 70 kg painava henkilö juoksee portaat ylös 4. kerrokseen (h= 16 m) 10 sekunnissa, on teho P = W/t = mgh / t = 70kg*9.81m/s2*16m/10s=1100 W = 1.1 kW Esim.2 Kun 1500 kg painoinen auto ajaa nopeudella 80 km/h (22.2m/s) 5.0 asteen ylämäkeä, tarvitaan nousuun teho P = m g h /t = 1500 kg*9.81 m/s2*22.2m/s*sin(5) / 1s = 28.5 kW kaava: NOUSUTEHO P = mgh / t

Hyötysuhde  Koneet kuluttavat enemmän tehoa (sähköä, polttoainetta), kuin ne antavat itse suoritukseen. Hukkateho johtuu koneen lämpenemisestä. Koneen käyttämää tehoa sanotaan sen ottotehoksi (Po), ja suoritustehoa antotehoksi Pa. koneen hyötysuhde on antotehon ja ottotehon suhde  = Pa / Po hukkalämpö Po kone Pa

Esim1. Liukuportaat nostavat ruuhka-aikana keskim. 100 henkeä / min metrosta katutasolle (h = 20 m). Ihmisten keskipaino on 75 kg. Laske liukuportaiden tehon tarve, kun sen hyötysuhde on 70 %. Ratkaisu: Antoteho Pa = mgh/t = 7500 kg * 9.81 m/s2* 20 m /60 s = 24.5 kW Ottoteho Po = Pa /  = 24.5 kW / 0.7 =35.0 kW

kiloWattitunti kWh Koska teho P = W / t, voidaan työ lausua muodossa W = P * t ( työ = teho*aika) Joule on siten sama kuin Wattisekunti 1J =1 Ws Koska 1J on erittäin pieni energian yksikkö, ei sitä käytetä energiatariffeissa yleisesti. Kun kaavaan W = P t laitetaan teho P kilowatteina ja aika t tunteina, saadaan yksikkö 1 kWh = 1000 W * 3600s = 3 600 000 J = 3.6 MJ Esim. 6.kW saunankiukaan lämmittäminen 2 h ajan vaatii siten 6 kW*2h = 12 kWh energiaa.

Energia E Potentiaalienergia Aiemmin on jo todettu, että kun massa m nostetaan korkeudelle h, tehdään nostotyö W = mgh. Tämä työ voidaan vapauttaa takaisin ja käyttää hyödyksi antamalla kappaleen pudota takaisin alas. Painovoimaa sanotaan konservatiiviseksi (säilyttäväksi) voimaksi, koska siinä tehty työ voidaan käyttää energiana. Esim. kitkaa vastaan tehtyä työtä ei enää voida palauttaa. Potentiaalienergia Nostotyö varastoituu potentiaalienergiaksi Ep = mgh Esim. vesivoimala muuttaa potentiaalienergiaa suoraan sähköksi

Vesivoimala Erään vesivoimalan turbiinien läpi virtaa vettä 500 m3/s. Voimalan putouskorkeus on 14 m ja se kykenee muuttamaan potentiaalienergiaa sähköksi 92 % hyötysuhteella. Laske voimalan tuottama sähköteho sen 1 vrk:ssa tuottama energia ja sen myyntiarvo a’hinnalla 5 cnt/kWh Ratkaisu: a) sähköteho P = 0.92* mgh/t = 0.92*500000 kg*9.81 m/s2*14m/1s = 63176400 W = 63 MW energia W = P t = 63176 kW * 24h = 1516234 kWh = 1.5 milj. kWh hinta = 1516234*0.05 € = 75800 € vuorokaudessa

mm. tuulivoimala hyödyntää tuulen liike-energiaa Liike- energia Ek= ½ mv2 Kiihdytystyö varastoituu liike-energiaksi v0 = 0 v F m m s Tehty työ W = F s = ma* ½ at2 = ½ m (at)2= ½ m v2 liike-energia Ek = ½ m v2 mm. tuulivoimala hyödyntää tuulen liike-energiaa

Tuulivoimala muuttaa liike-energiaa sähköksi roottorin läpi ajassa t menevä ilmamassa on m =V= Ah  = ilman tiheys =1.25 kg/m3  = hyötysuhde =0.20 h=v t A Esim. Jos siivekkeiden pyyhkimä ala on 80 m2 ja tuulen nopeus 6.0 m/s , niin alueen läpi kulkee sekunnissa ilmaa massa m= Avt = 1.25kg/m3 * 80 m2 * 6.0 m/s*1s = 600 kg Antoteho (sähköteho) on siten P = 0.2* ½ *600 kg * 6.02 m2/s3 = 2160 W = 2.2 kW

Mekaaninen energia mekaanisen energian säilymislaki Potentiaali- ja liike-energian summaa sanotaan mekaaniseksi energiaksi Emek = Ep + Ek = mgh + ½ m v2 Jos liikevastuksia, kuten kitkaa tai ilmanvastusta ei esiinny, kappaleen mekaaninen energia säilyy sen liikkuessa painovoimakentässä

Esimerkkejä Esim1. Kivi pudotetaan 200 m korkean pilvenpiirtäjän katolta. Millä nopeudella se osuu maahan? Ratk. Pudottamishetkellä kiven mekaaninen energia on pelkkää potentiaalienergiaa, joka kiven osuessa maahan muuttuu liike- energiaksi. Koska mekaaninen energia säilyy, on voimassa: mgh = ½ mv2 , josta v = (2gh) = (2*9.81m/s2*200m)= 62.6 m/s E = mgh h E = ½ mv2 v

Esimerkkejä Esim2. Polkupyörän nopeus 3.5 m korken mäen päällä on 4.0 m/s. Pyörä laskee mäen alas. Mikä on pyörän nopeus mäen alla, jos oletetaan, että ilman vastusta ja kitkaa ei ole. Ratkaisu: Mäen päällä pyörällä on energia mgh + ½ mv02 . Mäen alla energia on pelkästään liike-energiaa ½ mv2. mgh + ½ mv02 = ½ mv2 josta v = (v02 + 2gh) = (4.02 + 2*9.81*3.5)= 9.2 m/s v0 h v

Energiaperiaate yleisemmässä tapauksessa Silloin, kun kappale liikkuu painovoimakentässä, ja siihen vaikuttaa painovoiman lisäksi muitakin voimia, kuten esimerkiksi kitka, ym. kappaleen mekaaninen energia ei säily, vaan mekaaninen energia joko lisääntyy tai vähenee ulkoisten voimien tekemän työn verran. mgh1 + ½ mv12 + W = mgh2 + ½ mv22 Esim1. Laske auton jarrutusmatka 100 km/h nopeudesta kun kitkakerroin on 0.50. Ratkaisu: Autolla on jarrutuksen alussa liike-energiaa ½ mv02, joka jarrutuksen aikana katoaa kitkatyöhön W = Fs =  mg*s ½ mv02 =  mgs => s = v02 / (2 g) = 27.82/(2*0.5*9.81)m = 78.8 m

Jarrutusmatka mäessä energiaperiaatteella Esim.2 Laske edellisen tehtävän jarrutusmatka 5,0 asteen alamäessä. Ratkaisu: Nyt autolla on alussa sekä liike- että potentiaalienergiaa, joka jarrutuksessa muuttuu kitkatyöksi mgh + ½ mv02 = F s Korkeuden muutos h on sidottu jarrutusmatkaan kaavalla h = s sin5o Kitkan kaava mäessä on  mg cos5o . Nämä huomioiden saadaan mgs sin5o + ½ mv02 =  mg cos5o s , josta jarrutusmatka s = ½ v02 / ( g cos5o - gsin5o ) = ½ 27.82 / (0.5*9.81*cos5 – 9.81*sin5o) m = 96 m

Liikemäärä ja sen säilymislaki Vastusvoimat ja Törmäysprobleemat Väliaineen vastus Liikemäärä ja sen säilymislaki

Vastusvoima pyörteisessä virtauksessa Laskuvarjohyppääjän tullessa alas tai auton ajaessa ko. kappaleiden liikkuessa syntyy pyörteitä. Tällöin puhutaan pyörteisestä virtauksesta. Pyörteetöntä tapausta, jossa liike on niin hidasta, että pyörteitä ei synny kutsutaan laminaariseksi virtaukseksi. Siitä esimerkkinä on esim. sumupisaroiden hidas laskeutuminen maahan. Pyörteisessä tapauksessa väliaineen vastus saadaan kaavasta F = ½ cw  Av2  = väliaineen tiheys, v = kappaleen nopeus väliaineessa A = kappaleen pinta-ala liikesuuntaan projisoituna cw = kappaleen ilmanvastuskerroin

Laskuvarjohyppyesimerkki Kuinka suuri laskuvarjon poikkipinta-alan on oltava, jotta 90 kg painavan hyppääjän nopeus maahan tullessa olisi 5.0 m/s ? Laskuvarjon muotovakio cw = 2.0 , ilman tiheys 1,3 kg /m3. Ratkaisu: Hyppääjä tulee alas tasaisella nopeudella, joten Newtonin I lain mukaan painovoima ja ilmanvastus ovat yhtä suuret. mg = ½ cw  Av2 , josta A = mg / (1/2 cw  v2 ) = 90*9.81 / (1/2*2.0*1.3*5.02) m2 = 27 m2

Esimerkkejä autosta Erään henkilöauton muotovakio cw=on 0.25, auton etukuvannon pinta-ala on 2.5 m2. Auton nopeus on 120 km/h. Laske autoon kohdistuva ilman vastus auton antoteho ja ottoteho, jos hyötysuhde on 30 % auton polttoaineenkulutus / 100 km Ratkaisu: a) F = ½ cw  Av2 = ½ 0.25 *1.25 *2.5 * 33.32 N =450 N b) antoteho Pa = F v = 450N * 33.3 m/s = 15.1 kW ottoteho Po = Pa/ = 15.1 / 0.3 = 55 kW c) polttoaineen kulutus / 100 km Energian kulutus 100 km:llä W = (1/ ) Fs = 1/0.3 * 450N * 100000 m = 152 MJ koska bensalitrasta saadaan n. 30 MJ, on kulutus 152/30 L = 5 litraa

Liikemäärä ja impulssi Tarkastellaan kahden kappaleen törmäystä Newtonin 3. lain , voiman ja vastavoiman lain valossa u2 u1 v2 v1 m2 m1 m2 m1 m1 m2 F -F ennen törmäystä törmäystilanne törmäyksen jälkeen Newtonin mukaan kappaleet vaikuttavat toisiinsa törmäystilanteessa yhtäsuurilla, mutta vastakkaissuuntaisilla voimilla F ja –F. Toisaalta käyttämällä kaavaa F = ma molempiin kappaleisiin saadaan F = m2(u2 –v2) /t ja -F = m1(u1 –v1) /t , josta yhteen laskemalla m2(u2 –v2) = m1(u1 –v1) ja edelleen sulut poistaen ja ryhmittäen m1v1+m2v2 = m1u1+ m2u2

Liikemäärä Määritelmä : kappaleen liikemäärä p = mv ( massan ja nopeuden tulo) Edellä johdetun kaavan m1v1+m2v2 = m1u1+ m2u2 tulkinta on se, että törmäävien kappaleiden liikemäärien summa ennen ja törmäyksen on sama. Tätä kutsutaan liikemäärän säilymislaiksi ja se on yksi suurista fysiikan laeista. Laki seuraa Newtonin laeista Seuraavassa liikemäärän säilymislakia sovelletaan ns. rekyyliprobleeman ratkaisemiseen ja erilaisiin törmäyksiin.

Rekyyliprobleema v2 v1 = - m2/m1 * v2 v1 m1 m2 rekyylikaava: Rekyyliprobleemalla tarkoitetaan sitä, että jokin levossa, tai tasaisessa liikkeessä oleva kappale hajoaa kahteen osaan, jotka sinkoutuvat eri suuntiin. Tilanne esiintyy esim. ammuttaessa aseella, atomin hajotessa, tai esim. rakettimoottorissa. Esim1. Kivääri painaa 3000 g ja luoti 15 g. Minkä rekyylinopeuden kivääri saa, kun luodin lähtönopeus on 450 m/s. Ratkaisu: Ennen laukausta kivääri ja luoti ovat levossa, joten liikemäärä = 0. Säilymislaista johtuen liikemäärä= 0 myös laukaisun jälkeen. Ts. m1v1 + m2v2 = 0 , josta v1 = - m2/m1 * v2 = -15/3000*450 m/s = - 2.25 m/s rekyylikaava: v2 v1 = - m2/m1 * v2 v1 m1 m2

Törmäyslajit Kimmoton törmäys Täysin kimmoinen törmäys Osittain kimmoinen törmäys kappaleet jatkavat törmäyksen jälkeen yhdessä - liikemäärän lisäksi liike-energia säilyy edellisten tapausten välimuodot

liikemäärä säilyy, josta seuraa kimmottoman törmäyksen kaava: Kimmoton törmäys m1 m2 m1 m2 v1 v2 u ennen törmäystä jälkeen törmäyksen liikemäärä säilyy, josta seuraa kimmottoman törmäyksen kaava: m1 v1 + m2 v2 = (m1+ m2) u Esim. Pakettiauto (massa 2500 kg ja nopeus 80 km/h osuu levossa olevaan hirveen (massa 500 kg) kimmottomasti. Laske auton ja hirven yhteinen nopeus törmäyksen jälkeen. Ratkaisu: m1v1 = (m1+m2)u , josta u = m1 / (m1+m2) v1 = 2500 kg/ 3000 kg * 80 km/ h = 67 km/h

Täysin kimmoinen törmäys v1 u1 u2 v2 Sekä liikemäärä, että –energia säilyvät, josta kaavat m1v1+ m2v2 = m1u1 + m2u2 ½ m1v12+ ½ m2v22 = ½ m1u12 + ½ m2u22 Esim. Biljardissa lyöntipallo (120 g) osuu keskelle levossa olevaa mustaa palloa (100g) nopeudella 3,0 m/s täysin kimmoisasti. Laske pallojen nopeudet osuman jälkeen. Ratkaisu: Kirjoitetaan yo. yhtälöryhmä. Laadut voidaan jättää pois

120*3 = 120*u1 + 100 * u2 / 100 ½ 120*32 = ½ 120*u12 + ½ 100*u22 /100 * 2 1.2 u1 + u2 = 3.6 1.2 u12 + u22 = 10.8 Ylemmästä saadaan sijoitus u2 = 3.6 – 1.2 u1 jolloin alempi yhtälö saa muodon 1.2 u12 + (3.6 - 1.2 u1)2 = 10.8 Tästä edelleen 2.64 u12 – 8.64 u1 + 2.16 = 0 ja 2. asteen ratkaisukaavalla u1 = 3.0 m/s tai u1= 0.27 m/s Näitä vastaavat u2-arvot saadaan kaavalla u2 = 3.6-1.2 u1 ja ovat: 0 m/s ja 3.27 m/s. Edellinen (u1,u2) pari vastaa ohilyöntiä, joten vastaus on u1 = 0.27 m/s ja u2 = 3.27 m/s.

Osittain kimmoisa törmäys Osittain kimmoisassa törmäyksessä voidaan määritellä sysäyskerroin e = (u2-u1) / (v1-v2) . Kuten kaavasta havaitaan, kerroin on kappaleiden nopeuserojen suhde törmäyksen jälkeen ja ennen törmäystä. Sysäyskerroin kuvaa, kuinka kimmoinen törmäys on: Kimmottomassa törmäyksessä nopeusero katoaa , joten e=0 Täysin kimmoisalle törmäykselle on ominaista ,että e =1, ts. nopeusero säilyy. Esim. Auto (1500 kg) törmää hirveen (500 kg) nopeudella 60 km/h. Laske auton ja hirven nopeudet törmäyksen jälkeen, kun sysäyskerroin on 0.6.

Ratkaisu: m1v1+ m2v2 = m1u1 + m2u2 ja e = (u2-u1) / (v1 – v2) josta 1500 *60 = 1500 u1 + 500 u2 ja 0.6 = (u2-u1) /(60-0) => u2 – u1=36 ja 15 u1 + 5 u2 = 900 => 15 u1 + 5 (u1+36) = 900 => 20 u1 +180 = 900 20 u1 = 720 => u1 = 36 km/h ja u2 = u1 + 36 = 72 km/h Vastaus: auton nopeus törm. jälkeen on 36 km/h ja hirvi sinkoutuu nopeudella 72 km/h eteenpäin.

Sysäyskertoimen e käyttö Kaikki törmäysprobleemat voidaan hallita sysäyskerrointa käyttäen. Tarvitaan vain yksi yhtälö (liikemääräyhtälö): m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 ja sen toteaminen, että u2 = u1 + u , missä u = e v (nopeusero törm. jälkeen on sysäyskerroin * ero ennen törm.) täysin kimmoisassa törmäyksessä e = 1 kimmottomassa törmäyksessä e = 0 osittain kimmoisassa e on annettu arvo väliltä 0-1