S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Potentiaalien kertaus ja niiden käyttöesimerkit Sivut ja Jussi Nevanlinna

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 2 Sisältö Potentiaalien kertaus –Potentiaalien kertominen –Potentiaalien marginalisointi Potentiaalien käyttöominaisuudet –Verkon marginalisointi yhdelle muuttujalle –Yksinkertainen esimerkki potentiaalien muodostamisesta –Evidenssin vaikutus potentiaaleilla laskettaessa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 3 Potentiaalit Todennäköisyystaulukoita nimitetään yleisemmin potentiaaleiksi Esim., jolloin potentiaalin määrittelyjoukko on Näitä voidaan kertoa ja marginalisoida –Tuloksena uusi potentiaali Kertomisella ja marginalisoinnilla tärkeitä ominaisuuksia

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 4 Potentiaalien kertominen –Olkoon A ja B satunnaismuuttujia Alkioittain pätee –Olkoon A, B ja C satunnaismuuttujia Alkioittain pätee

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 5 Potentiaalien marginalisointi (1/4) –iv) Yksikköpotentiaalille 1 pätee –Marginalisointi Merkintä eli “summataan yli A:n” –Mariginalisointi järjestys on vaihdettavissa Esim.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 6 –Marginalisointia C:n suhteen ei tarvitse tehdä potentiaaleille, joiden määrittelyalueeseen C ei kuulu Esim. Potentiaalien marginalisointi (2/4)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 7 –Ehdollistetun muuttujan marginalisointi tuottaa yksikkö potentiaalin Esim. on summa toistensapoisulkevien tapahtumien yli ja toisaalta on varmaa että A saa jonkin arvon, joten Potentiaalien marginalisointi (3/4)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 8 Potentiaalien marginalisointi (4/4) Vaihtoehtoinen merkintä marginalisoinnille V joukko muuttujia, joita “ei summata yli” “Projektoidaan V:lle” Ominaisuudet uudella notaatiolla

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 9 Muuttujien yhteistodennäköisyysjakauma Yhteistodennäköisyysjakauma P(U) voidaan määrätä luettelemalla maailman kaikki mahdolliset tilat ja niitä vastaavat todennäköisyydet –Hankala käsitellä, koska erilaisten tilojen määrä kasvaa erittäin suureksi –Jos on 10 muuttujaa ja niillä kaikilla on 10 mahdollista muuttujan tilaa, yhteistodennäköisyysjakaumataulukon kooksi tulee 10 miljardia! –On käytettävä tehokkaampia keinoja!

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 10 Marginalisointi yhdelle muuttujalle(1/2) Tarkastellaan verkkoa jossa on kuusi muuttujaa Jokaisella muuttujalla on mahdollisia tiloja x kpl Taulukon P(U) koko on Potentiaalit :

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 11 Marginalisointi yhdelle muuttujalle(2/2) Ratkaistaan: Sijoitetaan:

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 12 Eliminointijärjestys potentiaaleilla laskettaessa Osittelulakia käyttämällä voitiin pienentää määrittelyjoukkoa suurin mahdollinen määrittelyjoukko oli kolme muuttujaa Koska potentiaaleihin voidaan käyttää osittelu- ja vaihdannaislakia, voidaan potentiaaleilla laskea missä järjestyksessä tahansa Pyrkimyksenä on valita reitti josta algoritmi suoriutuu mahdollisimman nopeasti –Käytännössä valitaan reitti jota kulkemalla pystytään pitämään määrittelyjoukko pienenä, tehokas mittauskeino tähän on suurimman muuttujien määrän minimoiminen. (muuttujien määrä saadaan määrittelyjoukosta )

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 13 Yksinkertaistettu esimerkki potentiaalien käytöstä(1/2) Oheisessa taulukossa todennäköisyydet ”flunssalle”, ”kissalle talossa”, ehdollinen todennäköisyys ”vuotavalle nenälle” ehdoilla (on/ei) ”kissa talossa” ja (on/ei) ”flunssa”, sekä ehdollinen todennäköisyys ”kissa talossa” ehdolla (on/ei) ”naarmuja huonekaluissa”. Yleensä Bayes-verkkojen muuttujien ja niiden ominaistilojen määrä on niin suuri, ettei taulukkoa pysty luomaan ilman algoritmeja

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 14 Yksinkertaistettu esimerkki potentiaalien käytöstä(1/2)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 15 Evidenssin vaikutus potentiaaleilla laskettaessa(1/2) Marginalisoitaessa yhdelle muuttujalle saatiin –Mikäli jostain muuttujasta saadaan evidenssiä, muuttuu yhtälö muotoon –josta seuraa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 16 Evidenssin vaikutus potentiaaleilla laskettaessa(2/2) Toisaalta samalla tavalla päättelemällä saadaan myös

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 17 Yhteenveto Marginalisoinnissa summataan jonkun muuttujan kaikkien mahdollisten olotilojen yli Potentiaaleille pätee osittelu- ja vaihdantalaki, joten niitä voidaan laskea missä järjestyksessä tahansa Potentiaaleilla laskettaessa pystytään välttämään suurien taulukoiden tehoton pyörittely Taulukoiden kausaalisuhteiden päivittäminen on huomattavasti mutkattomampaa potentiaalien avulla Virheiden paikallistaminen on helpompaa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 18 Kotitehtävä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä # - Esitelmöijän nimi Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 19 Lähteet Petri Myllymäki, Henry Tirri: Prospects of Bayesian networks (in Finnish), Technology Survey 58/98, Technology Development Center (TEKES), 1998.Prospects of Bayesian networks Bayesian Networks and Decision Graphs Series: Information Science and Statistics Jensen, Finn V.Information Science and Statistics Juuso Liesiön ensimmäinen esitelmä