S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiilit monistot ja kriisit Mat Optimointiopin seminaari

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Sisältö Määritelmiä –Homeomorfismi, diffeomorfismi –Stabiili ja epästabiili monisto Stabiili monisto –lause Homo- ja heterokliiniset pisteet Kriisit

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Homeo- ja diffeomorfismi Kuvaus f on homeomorfismi, jos –f on bijektio –f ja f -1 ovat jatkuvia Kuvaus f on diffeomorfismi, jos –f on homeomorfismi –f ja f -1 ovat sileitä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiili ja epästabiili monisto Olkoon diffeomorfismi f: R 2 → R 2 Olkoon f:llä kiintopiste p Jos Df(p):llä ominaisarvot s ja u: |s| 1 niin p on satula p:n stabiili monisto p:n epästabiili monisto

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiili monisto -lause Olkoon diffeomorfismi f, jolla satulapiste p –Df(p):n ominaisarvot |u|>1 ja |s|<1 –V u ja V s ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit Tällöin stabiili monisto S(p) ja epästabiili monisto U(p) ovat yksiulotteisia käyriä V u ja V s ovat S(p):n ja U(p):n tangentit pisteessä p

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiili monisto –lause Esimerkki 1/2 Kuvaus f:R 2 →R 2, f(r,θ)=(r 2, θ-sin θ) Kiintopisteet: nielu (0,0), lähde (-1,0) ja satula (1,0) Satulan (1,0) –Stabiili monisto S(1,0) on yksikköympyrä lukuunottamatta pistettä (-1,0) –Epästabiili monisto U(1,0) on positiivinen x- akseli

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiili monisto –lause Esimerkki 2/2 f:n Jacobin matriisilla (1,0):ssa on 2 ominaisarvoa: –s=0, vastaava ominaisvektori (0,1) –u=2, vastaava ominaisvektori (1,0) (-1,0)(1,0) VsVs VuVu

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Homokliiniset pisteet Olkoon kuvauksella f satulapiste p, stabiili monisto S ja epästabiili monisto U Piste x≠p on homokliininen piste jos Homokliiniselle pisteelle Homokliinisen pisteen rataa sanotaan homokliiniseksi radaksi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Heterokliiniset pisteet Olkoon kuvaus f, satulapiste p ja toinen kiintopiste q Piste x on heterokliininen jos Heterokliinisen pisteen rataa sanotaan heterokliiniseksi radaksi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Hevosenkenkäkuvaus Olkoon diffeomorfismi f, satula p ja homokliininen piste x Jollain Tällöin voidaan muodostaa hevosenkenkäkuvaus R

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kriisit Ikeda-kuvaus Attraktori muuttuu epäjatkuvasti kohdassa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Lambda-lemma Olkoon f diffeomorfismi ja p satulapiste Olkoon käyrä L, joka leikkaa S(p):n transversaalisti Tällöin jokainen U(p):n piste on joukon kasautumispiste

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Lambda-lemma, kuva L

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kriisien tulkinta Ikeda-kuvauksessa parametrin a kasvaessa attraktori θ a lähestyy jakson 5 jaksollisen radan pisteen p 5 stabiilia monistoa Kun a>a c, attraktori leikkaa stabiilin moniston → Lambda-lemman perusteella epästabiili monisto U(p 5 ) kuuluu attraktoriin

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Sisäosakriisi Ikeda-kuvauksessa U(p 5 ) kuuluu attraktorin attraktioaltaaseen kun a≈a c Tällöin kyseessä ”sisäosakriisi” (interior crisis) Attraktorin koko muuttuu epäjatkuvasti kriisikohdassa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Reunakriisi Olkoon kuvaus f, jonka kiintopiste p on attraktorin θ a altaan reunalla kun a≤a c Tällöin a=a c on reunakriisi –U(p):n toinen haara suppenee eri attraktorille –Attraktori θ a katoaa kun a>a c Ohimenevä kaaos: f:n radat saattavat silti seurata attraktoria θ a äärellisen ajan

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Logistinen kuvaus f(x)=ax(1-x)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Yhteenveto Stabiili ja epästabiili monisto Stabiili monisto –lause Homo- ja heterokliiniset pisteet Kriisit –Lambda-lemma –Sisäosa- ja reunakriisi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 18 – Juho Kokkala Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä (a)Olkoon x diffeomorfismin f homokliininen piste. Osoita, että f(x) on homokliininen piste. (b)Olkoon f(x,y)=(x 2 -5x+y, x 2 ) Ratkaise f:n kiintopisteet. Mitä stabiili monisto –lauseen perusteella tiedetään f:n käyttäytymisestä kiintopisteiden ympäristössä?