S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaksiulotteiset kuvaukset 2/ Jussi Kangaspunta

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät Epälineaariset kuvaukset ja Jacobin matriisi 2.6 Stabiilit ja epästabiilit monistot (manifolds)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kertaus: Lineaariset kuvaukset Lineaarisilla kuvauksilla aina kiintopiste origossa Lineaarinen kuvaus A(v): –Origo nielu, jos kaikki A:n ominaisarvot itseisarvoltaan < 1 –Origo lähde, jos kaikki A:n ominaisarvot itseisarvoltaan > 1 –Origo satula, jos a) ominaisarvoista ainakin yksi itseisarvoltaan < 1 b) ominaisarvoista ainakin yksi itseisarvoltaan > 1 c) mikään ominaisarvo ei ole 1 (hyperbolisuus) Miten määrittää epälineaarisen kuvauksen kiintopisteen stabiilisuus ?

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Epälineaariset kuvaukset 1-ulotteinen tapaus: – –p kiintopiste: nielu lähde m-ulotteinen tapaus: – –Df(p) Jacobin matriisi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jacobin matriisi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 f(p) = p –p nielu, jos kaikki Df(p):n om.arvot itseisarvoltaan < 1 –p lähde, jos kaikki Df(p):n om.arvot itseisarvoltaan > 1 –p satula, jos a) Df(p):n ominaisarvoista ainakin yksi itseisarvoltaan < 1 b) Df(p):n ominaisarvoista ainakin yksi itseisarvoltaan > 1 c) mikään Df(p):n ominaisarvo ei ole 1 (hyperbolisuus) –satulat epästabiileja jos yksikin Df(p):n ominaisarvoista itseisarvoltaan > 1 niin p on epästabiili –jaksollisille pisteille

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esim. Hénonin kuvaus –Jacobin matriisi asettamalla a = 0 ja b = 0.4 –kiintopisteet ovat (0,0) ja (-0.6,-0.6) –kiintopisteissä Jacobin matriisin ominaisarvot: (0,0):0.632 ja (-0.6, -0.6):1.472 ja –(0,0) on nielu ja (-0.6,-0.6) satula

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 asettamalla a = 0.43 ja b = 0.4 –jakson-2 rata { (0.7,-0.1), (-0.1,0.7) } –radan stabiilisuus? –lasketaan :n Jacobin matriisi pisteessä (0.7, -0.1) ketjusäännöllä –Jacobin matriisin ominaisarvoiksi pisteessä (0.7, -0.1) saadaan kompleksiluvut i ja i, joiden suuruus on n. 0.4 –0.4 < 1, joten jakson 2 rata on nielu –HUOM! stabiilisuus ei ole yksittäisen radan pisteen vaan koko jaksollisen radan ominaisuus

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Jacobin matriisin avulla voidaan stabiilisuuden lisäksi määrittää kuvausten pinta-alojen muutos Jacobin matriisin determinantin itseisarvo kertoo epälineaaristen kuvausten pinta-alojen muutoksen Esim. Hénonin kuvaus a = 0, b = 0.4

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Käänteiskuvaukset useimmat tasokuvaukset, joita käsitellään on kääntyviä eli käänteiskuvaukset ovat olemassa kuvaus injektio (one-to-one), jos kuvauksien lähtö- ja maalijoukko samat joten, jos kuvaus on injektio niin sillä on käänteiskuvaus

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiilit ja epästabiilit monistot alkuarvojen joukko, joka konvergoi satulapisteeseen kutsutaan satulan stabiiliksi monistoksi esim. –kuvaus –y-akseli tulosuunta ja 0:n stabiili monisto

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Stabiilit ja epästabiilit monistot kuvauksen epästabiili monisto on käänteiskuvauksen stabiili monisto f sileä injektiokuvaus :ssa ja p on f:n satulapiste (tai jaksollinen satulapiste) (stabiili monisto), jos (epästabiili monisto), jos

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 lineaaristen kuvausten satulan stabiilit ja epästabiilit monistot ovat aina lineaarisia aliavaruuksia –esim. :ssa suoria epälineaaristen kuvausten satulan stabiilit ja epästabiilit monistot voivat olla käyriä yleensä stabiileja/epästabiileja monistoja ei voida löytää suoraan vaan on käytettävä laskennallisia ja approksimatiivisia menetelmiä (Chap. 10)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 esim. kuvaus –satulapiste (0,0) (saadaan Jacobin matriisin ominaisarvoista pisteessä (0,0) ) –origon stabiili monisto

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 kiintopisteen stabiilit ja epästabiilit monistot voivat leikata homokliinisissä (homoclinic) pisteissä –stabiili monisto suuntautuu poispäin kiintopisteestä ja epästabiili monisto kiintopisteeseen päin

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 esim. homokliininen piste –kiintopisteen p stabiili/epästabiili monistot leikkaavat pisteessä ja myös äärettömän monessa muussa pisteessä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä (kirjasta ex. 2.3) Olkoon kuvaus –Määritä kuvauksen kiintopisteet. (2p) –Luokittele kiintopisteet (so. onko kiintopiste nielu, lähde vai satula) (3p)