TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää.

Esitys aiheesta: "TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää."— Esityksen transkriptio:

1 TANGENTTI Suora, joka sivuaa käyrää.
Derivaatta on funktion tangentin kulmakerroin

2 30 cm 10 vrk

3

4 Miten derivaatta ilmaisee funktion joko kasvamisen tai vähenemisen?
f’(x) = 0 f’(x) < 0 f’(x)>0

5 seuraa tangentin kulmakertoimen muuttumista
FUNKTION KULKU seuraa tangentin kulmakertoimen muuttumista

6 seuraa derivaatan muuttumista
FUNKTION KULKU seuraa derivaatan muuttumista f(x) f’(x) = 0 f’(x) >0 f’(x) < 0 f’(x) >0 f’(x) = 0

7 Funktion kasvaminen ja väheneminen
Derivaatta on funktion tangentin kulmakerroin Mitä arvoja?

8 Funktion kulun selvittäminen derivaatalla
minimi- kohta maksimi- kohta

9 Funktio ja sen derivaatta
Derivaatta on apuväline, jolla tutkitaan funktion kulkua Vaikka derivaattakin on funktio, niin pääosassa: itse alkuperäinen funktio f(x), jota tutkitaan statistina: derivaatta f’(x), jolla tutkitaan kasvua, vähenemistä Älä sekoita näitä keskenään!

10 Milloin funktio f(x) = 2x2 - 3x + 1 on kasvava?
Ratk. Etsitään derivaatan nollakohta f’(x) = 4x - 3 = (nouseva suora) Ylöspäin aukeava paraabeli x= 0,75 Vastaus: f(x) on kasvava, kun x > 0,75

11 Milloin funktio f(x) = x3 +2,5x2 -2x on vähenevä?
Ratk. Etsitään derivaatan nollakohta/nollakohdat f’(x) = 3x2 + 5x - 2 = 0 (ylöspäin aukeava paraabeli) Vastaus: f(x) on vähenevä, kun f’(x) f (x) -2

12 f(x) = -2x2 +4x + 6 a) Missä kohdassa on paraabelin huippu
f(x) = -2x2 +4x + 6 a) Missä kohdassa on paraabelin huippu? b) Mikä on funktion arvo kyseisessä kohdassa? c) Mikä on huipun laatu? Ratk. a) f’(x) = -4x + 4 = 0 (laskeva suora) - 4x = -4 x = a) Vastaus: x = 1 b) f(1) = -2 · ·1 + 6 = 8 b) Vastaus: f(1) = 8 f’(x) f’(x) 1 c) Vastaus: Maksimi max

13 Mikä on funktion f(x) = -2/3x3 +2x2 +6x +2 suurin ja pienin arvo välillä [-3,4] ?
Ratk. f’(x) = -2x2 +4x + 6 (alaspäin aukeava paraabeli) -2x2 +4x + 6 = 0 (jaetaan -2:lla) x2 -2x - 3 = 0 Jatkuu -->

14 Funktion rajat -3 ja 4 Derivaatan nollakohdat -1 ja 3 Derivaatta alaspäin aukeava paraabeli
f’(x) f(x) -3 -1 3 4 Suurin arvo joko kohdassa -3 tai kohdassa 3 Pienin arvo joko kohdassa -1 tai kohdassa 4 Lasketaan ne kaikki kohdat ---> jatkuu

15 f(x) = -2/3x3 +2x2 +6x +2 f(-3) = -2/3·(-3)3 +2 ·(-3) 2 +6 ·(-3) +2 = 20 f(-1) = -2/3 ·(-1) 3 +2 ·(-1) 2 +6 ·(-1) +2 = -1,3 f(3) = -2/3·33 +2·32 +6·3 +2 =20 f(4) = -2/3·43 +2·42 +6·4 +2 = 15,3 Vastaus: Pienin arvo -1,3 ja suurin 20 kuvaaja --->

16 f(x) = -2/3x3 +2x2 +6x +2 välillä [-3,4]

17 Tehtävä Influenssaepidemian etenemistä yhdyskunnassa,
jonka väkiluku on , ennustetaan käyttäen funktiota f(t) = 15t2 –t3 , 0 < t < 15. Funktio f(t) ilmaisee influenssaa sairastavien lukumäärän, kun epidemian alkamisesta on kulunut t vuorokautta. a)Laske sairastavien lukumäärä 5, 10 ja 12 vuorokauden kuluttua epidemian alkamisesta. b)Millä nopeudella sairastavien määrä lisääntyy 5, 10 ja 12 vuorokauden kuluttua epidemian alkamisesta?

18 Ratkaisu f(t) = 15t2 –t3 , 0 < t < 15 f’(t) = 30t -3t2
Nähdään, että epidemian huippu sattuu 10 päivän päähän ja siitä tartunta alkaa vähetä.

19 ÄÄRIARVOT (0,3) (1,-1) max min 2 f(0) = 03-3·02 +3 =3
2 f(0) = 03-3·02 +3 =3 f(2) = 23-3·22 +3 =-1

20 Mitkä ovat funktion f(x) = -x3+2x2+4x - 5 ääriarvokohdat ja ääriarvot?
(2,3) Mitkä ovat funktion f(x) = -x3+2x2+4x - 5 ääriarvokohdat ja ääriarvot? (-1,7;-6,5) min max -2/3 2 f(-2/3) = -(-2/3)3+2·(-2/3)2 +4·(-2/3) -5=-6,5 f(2) = -23+2·22 +4·2 -5 = 3