Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono

Esitys aiheesta: "Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono"— Esityksen transkriptio:

1 2.2.1 . Rajoitetut jonot 1. Alhaalta rajoitettu jono
Jono (an) on alhaalta rajoitettu, jos  sellainen luku m, että " n : an ³ m 2. Ylhäältä rajoitettu jono Jono (an) on ylhäältä rajoitettu, jos  luku M, että " n : an £ M 3. Rajoitettu jono Jono on rajoitettu, jos se on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu Katso esimerkit 1 & 2, kirja s

2 E.1. Kirja, s. 85 Lukujonolle on aina positiivinen (n positiivinen)
Lukujono (an) on alhaalta rajoitettu. Jonon eräs alaraja on m = 1 suurin arvo on 1 (n = 1) Lukujono (an) on ylhäältä rajoitettu. Jonon eräs yläraja on M = 3 Siis jono alhaalta ja ylhäältä rajoitettu, siis rajoitettu

3 E.2. kirja, s. 87 Osoita, että lukujono on alhaalta, mutta ei ylhäältä rajoitettu Koska n on positiivinen kokonaisluku, on jokainen jonon termi positiivinen eli an > 0 Jono on alhaalta rajoitettu. Eräs alaraja m = 0 Koska Siis lukujonon termit saavat mielivaltaisen suuria arvoja Lukujono ei ole ylhäältä rajoitettu

4 Monotoniset jonot Jono (an) on kasvava, jos " n : an+1 ³ an aidosti kasvava, jos " n : an+1 > an aidosti vähenevä, jos " n : an+1 < an vähenevä, jos " n : an+1 £ an Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

5 Monotonisuuden tutkiminen
1) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lauseketta an+1 - an . Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava. 2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta an+1 : an. Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava. 3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta derivaatan avulla. Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.

6 an+1 – an > 0 ? E.1. Osoita, että lukujono an = on kasvava. TAPA1 joten an+1 > an. Lukujono on (aidosti) kasvava

7 TAPA2 an+1 : an > 1 ? Siis a n+1 > an. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.

8 f’(x) = f(x) = TAPA3 Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1
Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli an+1 > an n  Z+ Lukujono on (aidosti) kasvava