Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme1 Maplen peruskäyttö 2. Derivaatta ja integraali.

Esitys aiheesta: "Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme1 Maplen peruskäyttö 2. Derivaatta ja integraali."— Esityksen transkriptio:

1 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme1 Maplen peruskäyttö 2. Derivaatta ja integraali

2 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme2 2.1Funktio ja muuttujalauseke Maplen käyttäjältä vaaditaan, että hän ymmärtää eroon funktion ja muuttuja- lausekkeen välillä. Alkutuntien johdannon ja esimerkkien jälkeen on paneuduttava muutamiin pe- rusperiaatteisiin, jotta matemaattisten ongelmien ratkaisu onnistuisi.

3 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme3 Muuttujalauseke määritellään, kuten on opittu: > p:=x^2-2*x+1; Ongelmana vain on, että p:n arvo muuttuu, aina sen jälkeen kun x:n arvoa muutetaan ja muuttuja p lasketaan (täysevaluaatio).

4 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme4 Siksi käytetään usein subs-komentoa, joka ainoastaan palauttaa lausekkeen uuden arvon työarkille. Kokeile: > p:=x^2-2*x-1; > subs(x=1,p); > p; > x;

5 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme5 Usein kuitenkin tilanne on sellainen, että lausekkeen arvoa ei haluta muut- taa. Jos joudutaan laskemaan funktioiden arvoja useissa pisteissä, niin se onnis- tuu subs-komennolla, mutta toimen- pide on työläs.

6 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme6 Kätevämpää on määritellä funktio seuraavalla tavalla: > f1:=x->x^2-2*x+1; Huom. Funktiota ei määritellä kirjoittamalla > f1:=x^2-2*x+1

7 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme7 2.2Derivointi Maple osaa derivoida muuttujalause- ketta tai funktiota. Tutustutaan ensin muuttujalausekkeen derivointiin (argumenttina lauseke). Komennon syntaksi on diff(lauseke, muuttuja)

8 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme8 Esimerkki. > f1:=x^2-2*x+1; > diff(f1,x); Nyt ratkaisuksi saadaan lauseke, eikä siis funktio.

9 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme9 Funktion derivointi Funktion määrittelyn jälkeen derivointi onnnistuu D-komennolla. Argumentiksi annetaan funktio, ja tulokseksi saadaan derivaattafunktio! Syntaksi on D(funktio);

10 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme10 Esimerkki. > f2:=x->x^3-3*x^2-1: > D(f2); Jos haluaa derivointilauseketta näkyviin, niin sen saa Diff- komennolla.

11 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme11 Toinen tapa on määritellä funktio, ja ilmoittaa sen jälkeen argumentiksi lauseke eikä funktio! Esimerkki. > f3:=x->x^3-3*x^2-1: > diff(f3(x),x);

12 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme12 2.3Integrointi Integrointi suoritetaan int-komennolla. Vastaavalla tavalla kuin derivoinnissa- kin, niin int-komennon argumentiksi on annettava muuttujalauseke. Syntaksi on int(lauseke, muuttuja);

13 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme13 Esimerkki. > int(x^2-2*x+1,x); Havainnollisempaa opiskelijalle on, että näkisi samanaikaisesti, mikä lauseke integroidaan ja mikä on tulos.

14 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme14 Esimerkki. > Int(x^2-2*x+1,x)=int(x^2- 2*x+1,x); Huomaa, että Maple ei automaattisesti lisää integroimisvakiota.

15 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme15 Määrätty integraali Määrätyssä integraalissa on Maplelle ilmoitettava integroimisrajat. Syntaksi int(lauseke, x = alaraja.. yläraja); Esimerkki. > Int(x^2-2*x+1,x=- 1..1)=int(x^2-2*x+1,x=- 1..1);

16 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme16 Joskus käsinlaskettaessa integraalit ovat sellaisessa muodossa, että joudutaan tekemään osamurtokehitelmä. Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

17 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme17 Se voidaan ’käsin’ laskemalla suorittaa osamurtokehitelmällä…ja Maplella se menee näin > a:=(x+1)/(x^4-2*x^3+x^2-2*x); > convert(a,'parfrac',x); > int(a,x);

18 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme18 Toki Maple laskee sen myös suoraan ilman osamurtokehitelmääkin…

19 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme19 2.4 Numeerinen integrointi Yhdenmuuttujan funktiolle ensimmäisiä (ja helpoiten käytettäviä) ovat trapetsi ja Simpsonin sääntö. Trapetsisääntö:

20 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme20 Simpsonin sääntö:

21 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme21 Simpsons:=proc(f,a,b,m) local h,S,n; #valitaan paikalliset muuttujat: #jakovälin pituus h, apumuuttuja n #summa S n:=m/2; h:=(b-a)/(2*n); S:= evalf(h/3*(f(a)+4*sum(f(a+(2*j-1)*h), j=1..n)+ 2*sum(f(a+2*l*h), l=1..n-1) + f(b))); end proc: