Neperin luku e ja funktio y = ex

Esitys aiheesta: "Neperin luku e ja funktio y = ex"— Esityksen transkriptio:

1 3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = ex

2 Neperin luku e ja sen määritelmä
Eksponenttifunktio f(x) = kx ex on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e  2, (laskimella) Eksponenttifunktion f(x) = ex ominaisuuksia Mf = R Af = ]0,[ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen x – akseli Potenssien laskusäännöt säilyy eu = ev  u = v y = ex (ks. kirja s )

3 E.1. Sievennä e2xe-x = e2x – x = ex b) e3(ex+1)2 = e3e2x+2 = e3+2x+2 = e2x + 5 E.2. Ratkaise yhtälö ex+2 = e-x x + 2 = -x 2x = -2 x = -1 b) e3x – 6 = 1 e3x -6 = e0 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2

4 3.2.2. Funktion y = ex derivaatta
D(ex) = ex Funktio y = ex on oman itsensä derivaatta: käyrän mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan tangentin kulmakerroin on sama kuin pisteen y-koordinaatti.

5 E.3. Derivoi a) f(x) = 2ex + 3x b) f(x) = (ex + 1)2
b) f’(x) = 2ex(ex + 1)

6 Olkoon f derivoituva funktio. D(ef(x)) = ef(x) · f ´(x)
E.4. Derivoi a) f(x) = e2x d) f(x) = e2x ·x3 a) f‘ (x) = 2e2x b) f‘(x) = 2e2x· x3 +e2x ·3x2 = x2e2x(2x + 3)

7 Derivaatan arvon laskeminen
Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f ´(1), kun f(x) = e2x - x3 f’(x) = 2e2x – 3x2 f’(1) = 2e2 - 3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, kT = f ´(x0) E.6. Mikä on käyrän y = e1-x kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f ’ (x) = –e1-x f ’ (1) = -e1-1 = -e0 = -1

8 E.7. Määritä a ja b, kun f(x) = eax + b sekä f(0) = 2 ja f ´(0) = 3
f(0) = e0 + b = b + 1 b +1 = 2 b = 1 f’(x) = aeax ae0 = 3 a = 3

9 E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f(x) = e4x + e-4x
4x = -4x 8x = 0 x = 0

10 Kirjan esimerkki 3, sivu 57 Mitä arvoja f(x) = 2x + e-2x saa? Funktio on jva ja dva kaikkialla Derivaatan nollakohdat: f ’ (x) = 2 – 2e-2x = 2(1 – e-2x) f ’ (x) = 0: 1 – e-2x = 0  e-2x = 1  e-2x = e0 -2x = 0  x = 0 Kulkukaavio: f’(-1) = 2(1-e2)  -12,8 < 0 f’(1) = 2(1-e-2)  1,7 > 0 f ’ f - + min Pienin arvo: Kulkukaavion perusteella f(0) = 1 Suurin arvo: Koska lim f(x) =  , niin funktiolla x ->  ei ole suurinta arvoa, vaan funktio saavuttaa mielivaltaisen suuria arvoja. V: Funktio f saavuttaa kaikki ne arvot, jotka ovat  1