T0554031 Todennäköisyyslaskenta 5.3Jatkuvat jakaumat.

Esitys aiheesta: "T0554031 Todennäköisyyslaskenta 5.3Jatkuvat jakaumat."— Esityksen transkriptio:

1 T0554031 Todennäköisyyslaskenta 5.3Jatkuvat jakaumat

2 T0554032 Diskreetistä jakaumasta jatkuvaan jakaumaan Diskreetissä jakaumassa pylvään korkeus ilmoittaa tietyn yksittäisen tapauksen pistetodennäköisyyden. Laskemalla kaikkien pylväiden korkeudet (eli pistetodennäköi- syydet) saadaan tulokseksi 1.

3 T0554033 Jatkuvan jakauman todennäköi- syyksiä tietyllä välillä kuvataan ti- heysfunktion avulla. Tiheysfunktio kulkee aina x-akselin yläpuolella. Todennäköisyys tietyllä välillä saa- daan pinta-alan avulla.

4 T0554034 Tiheysfunktion ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on 1.

5 T0554035 Tiheys- ja kertymäfunktio Jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktiolla on ominaisuudet 1) f(x)  0, 2) funktio f on jatkuva kaikkialla paitsi äärellisessä määrässä kohtia 3)

6 T0554036 Esimerkki 1. Olkoon a < b. Määritetään sellainen t, että funktio f(x) on tiheysfunktio, kun

7 T0554037 Koska tiheysfunktio on määritelty koko reaalilukujen joukossa, kerty- mäfunktio luonnollista määritellä välillä x  [a, b] asettamalla

8 T0554038 Kertymäfunktion arvo F(x) ilmoittaa todennäköisyyden sille, että satun- naismuuttujan arvot ovat  x:

9 T0554039 Esimerkki 2. Määritä kertymäfunktio F(x), kun tiheysfunktio on

10 T05540310 Esimerkki 3. Millä todennäköisyydellä esimer- kissä 2 satunnaismuuttuja saa arvoja väliltä [1, 2]?

11 T05540311 Odotusarvo ja keskihajonta Olkoon jatkuvan satunnaismuut- tujan x tiheysfunktio f. Satunnais- muuttujan odotusarvo Ex ja va- rianssi D 2 x määritellään asettamalla

12 T05540312 Varianssin neliöjuuri on keskihajon- ta, merk. Dx = . Esimerkki 4. Määritä esimerkin 2 jakauman odotusarvo ja keskihajonta.

13 T05540313 Seuraavaksi tutustutaan tärkeim- pään jatkuvaan jakaumaan: nor- maalijakaumaan.