Lataa esitys
Esittely latautuu. Ole hyvä ja odota
1
Langattomien laitteiden matematiikka 1
6. Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1
2
6.1 Yleistä Fourier-muunnoksista
Fourier-sarjoja voidaan käyttää jaksollisten funktioiden esittämiseen. Jaksottomien funktioiden esittämiseen käytetään Fourier-muunnosta. Seuraavassa perustellaan, miksi Fou-rier-muunnosta käytetään sähköteknii-kassa erittäin runsaasti. Langattomien laitteiden matematiikka 1
3
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 1. Tutkitaan aluksi, miten taajuuden pienentäminen vaikuttaa allaolevan kaltaisen funktion spektriin Langattomien laitteiden matematiikka 1
4
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Taajuuden pienentyessä - pulssin sakarat etääntyvät toisistaan aika-alueessa - taajuusalueessa spektriviivat tihenevät Rajatapauksena saadaan jaksoton yksittäinen sakarapulssi. Langattomien laitteiden matematiikka 1
5
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Jaksottoman funktion spektri on usein jatkuva.(vrt. Fourier-sarjat…) Tästä seuraa se, että matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan summan sijasta integraali (summa on diskreetti)! Langattomien laitteiden matematiikka 1
6
Langattomien laitteiden matematiikka 1
6.2 Fourier-muunnos Funktion f : R K Fourier-muunnok-sella tarkoitetaan integraalia Langattomien laitteiden matematiikka 1
7
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Fourier-muunnos on olemassa, jos integraali (F) suppenee. Fourier-muunnokselle käytännön tilanteissa riittävä ehto on, että seuraava integraali suppenee Langattomien laitteiden matematiikka 1
8
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Fourier-muunnoksen käänteismuunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1
9
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Usein Fourier-muunnokselle ja kään-teismuunnokselle käytetään merkintöjä: F () = F [f (t )] f (t ) = F -1 [F () ] Langattomien laitteiden matematiikka 1
10
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Fourier-muunnos on yleisessä tapauk-sessa kompleksiarvoinen funktio ja määrittelee signaalin f (t ) jatkuvan spektrin. Muunnoksen itseisarvo |F ()| muo-dostaa amplitudispektrin ja vaihekulma arg(F ()) vaihespektrin. Langattomien laitteiden matematiikka 1
11
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 2. Määritetään seuraavanlaisen sakara-pulssin Fourier-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1
12
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 3. Muodostetaan seuraavanlaisen signaalin määrittelemän funktion Fourier-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1
13
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 4. Tarkastellaan seuraavaa lineaarista systeemiä. Olkoon tulosuure x (t ) ja lähtösuure y (t ). Oletetaan edelleen, että systeemiä kuvaa differentiaaliyhtälö Langattomien laitteiden matematiikka 1
14
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Parsevalin yhtälö Jaksottoman signaalin tapauksessa keskimääräisen tehon käsite on mielekäs vain silloin, kun signaali häviää jonkin äärellisen välin [a, b] ulkopuolella. Langattomien laitteiden matematiikka 1
15
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Keskimääräisen tehon sijasta käytetään signaalin energian käsitettä. Se määritellään yhtälöllä Langattomien laitteiden matematiikka 1
16
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Signaalin teho voidaan määrittää raja-arvona Langattomien laitteiden matematiikka 1
17
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Jos 0 < P < ∞, sanotan signaalia tehosignaaliksi. Langattomien laitteiden matematiikka 1
18
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 5. Määritä suorakaidepulssin f (t ) energia ja teho, kun Langattomien laitteiden matematiikka 1
19
6.3 Erikoisfunktioiden F-muunnoksia
Yksikköaskelfunktio määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1
20
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 6. Mielivaltaisesta funktiosta voidaan yksikköaskelfunktiolla ottaa tarkasteltavaksi mikä tahansa osa. Langattomien laitteiden matematiikka 1
21
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Diracin deltafunktio Määritellään apufunktio, jonka tutkimi-sella voidaan perustella Diracin delta-funktion muoto ja olemassaolo. Langattomien laitteiden matematiikka 1
22
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Diracin deltafunktiolla tarkoitetaan funktiota , joka toteuttaa seuraavat ominaisuudet: 1. (t ) = 0, kun t 0 2. Jos f on pisteessä t0 jatkuva funktio, niin Langattomien laitteiden matematiikka 1
23
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Suure (t ) on itse asiassa distribuutio eli yleistetty funktio. Se ei siis ole reaalifunktio. Yksikköimpulssifunktion (t ) avulla voidaan muodostaa myös muita im-pulssifunktioita. Langattomien laitteiden matematiikka 1
24
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 7. Tutkitaan lauseketta Langattomien laitteiden matematiikka 1
25
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Mikäli sovitaan, että havaitaan yksikköaskelfunktion ja yk- sikköimpulssifunktion yhteys: Langattomien laitteiden matematiikka 1
26
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Ilman täsmällistä määrittelyä otetaan käyttöön distribuutioderivaatta Langattomien laitteiden matematiikka 1
27
6.4 Konvoluutio ja korrelaatio
Konvoluutio on erittäin keskeinen käsite signaalin- ja kuvankäsittelyssä. Sen avulla on mahdollista laskea systeemin vaste, kun impulssivaste on tiedossa. Langattomien laitteiden matematiikka 1
28
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Konvoluution yksi parhaista ominaisuuksista on, että se muuntuu Fourier-muunnoksessa kertolaskuksi taajuusalueessa. Käydään läpi oppikirjan esimerkit. Langattomien laitteiden matematiikka 1
29
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Korrelaatiointegraali on hyvin paljon samankaltainen konvoluutiointegraalin kanssa: Langattomien laitteiden matematiikka 1
30
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Ja Fourier-muunnos muuntaa korrelaation aikatasossa taajuustason kertolaskuksi Langattomien laitteiden matematiikka 1
31
7. Diskreetti Fourier-muunnos ja - sarja
Langattomien laitteiden matematiikka 1
32
Langattomien laitteiden matematiikka 1
7.1 Johdantoa Tiedon digitalisointi johtaa matematiikan osalta lukujonojen käsittelytekniikoiden painottamiseen. Digitaalisessa signaalinkäsittelyssä näytteenotto tuottaa diskreettejä funktioita eli lukujonoja, joita prosessoidaan esim. spektrin avulla. Langattomien laitteiden matematiikka 1
33
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Palautetaan mieleen, että diskreetillä funktiolla eli lukujonolla tarkoitetaan funktiota, joka on määritelty vain erillisissä eli diskreeteissä pisteissä. Langattomien laitteiden matematiikka 1
34
7.2 Diskreetin F-sarjan määrittely
Oletetaan, että diskreetti funktio x on N-jaksoinen ja x : Z K. N-jaksoisen funktion x Fourier-sarja on Langattomien laitteiden matematiikka 1
35
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Kertoimet ck saadaan määritettyä kaavasta Langattomien laitteiden matematiikka 1
36
7.3 Diskreetti F-muunnos (DFT)
N-jaksoisen funktion x : Z K disk-reetillä Fourier-muunnoksella tarkoi-tetaan kompleksilukujonoa Langattomien laitteiden matematiikka 1
37
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki 1. Laske jonon {1, 2, -5, 3} DFT. Esimerkki 2. Suorita edellisen esimerkin käänteismuunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1
38
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Huomataan, että kompleksiluvut X (k) ovat täsmälleen samat kuin funktion x(n) diskreetin F-sarjan kertoimet. Fourier-muunnokselle käytetään merkintää X (k) =DFT{x(n)} Langattomien laitteiden matematiikka 1
39
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Diskreetille Fourier-muunnokselle voi-daan määritellä myös käänteismuun-nos. N-jaksoisen funktion x : Z K disk-reetillä Fourier-käänteismuunnoksella tarkoitetaan kompleksilukujonoa Langattomien laitteiden matematiikka 1
40
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Käänteismuunnokselle voidaan käyttää merkintää IDFT{X (k)} = X -1 (n) Langattomien laitteiden matematiikka 1
41
7.4 DFT:n soveltaminen käytäntöön
Diskreetillä Fourier-muunnoksella on kätevää laskea konvoluutiota ja korrelaatiota. Täydennetään hieman teoriatietoja ja lasketaan muutamia esimerkkejä. Langattomien laitteiden matematiikka 1
42
7.5 Jonon Fourier-muunnos
Eräänlainen välimuoto jatkuvan funkti-on Fourier-muunnoksen ja jaksollisen jonon diskreetin N pisteen muunnok-sen rinnalla on jonon Fourier-muun-nos. Se saadaan x:n diskreetin F-muunnok-sen ja käänteismuunnoksen avulla. Langattomien laitteiden matematiikka 1
43
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Jonon x : Z K Fourier-muunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1
44
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Muunnos on kuvaus R C. Se on olemassa, jos sarjan summa on äärellinen. Esimerkki. Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1
45
Langattomien laitteiden matematiikka 1
Esimerkki. Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1
Samankaltaiset esitykset
© 2024 SlidePlayer.fi Inc.
All rights reserved.