S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaoottiset attraktorit Henri Hytönen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Johdanto Aiemmissa esityksissä on tarkasteltu stabiileja kiintopisteitä ja stabiileja jaksollisia ratoja Toisaalta on havaittu, että joidenkin kuvausten tietyistä alkupisteistä lähtevä rata on kaoottinen Voiko kaoottinen rata olla stabiili kuten kiintopisteet ja jaksolliset radat, t.s. voiko jostakin alkupisteiden joukosta päätyä samanlaiselle kaoottiselle radalle?

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki kaoottisesta attraktorista Pisteestä (1.5,-2.5) lähtevä rata lähestyy kiintopistettä Pisteestä (1,-2.5) lähtevä rata on kaoottinen Toisaalta myös pisteen ympäristöstä lähtevät radat ovat kaoottisia ja näyttävät samantapaisilta kuin rata

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki kaoottisesta attraktorista Havaitaan, että kaikista harmaan alueen pisteistä lähtevät radat ovat kaoottisia ja lähestyvät samanlaista pistejoukkoa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rajajoukko Radan ω-rajajoukko (forward limit set, ω-limit set) on joukko :sta lähtevä rata käy siis äärettömän monta kertaa mielivaltaisen lähellä jokaista :n pistettä on siten :n radan kasautumispisteiden joukko

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Attraktio, attraktioallas Jos on jonkin radan ω-rajajoukko ja jokin toinen alkupiste, jolle pätee, niin tällöin on attraktoitunut (attracted) Niiden pisteiden joukko, jotka ovat attraktoituneet, muodostavat :n attraktioaltaan (basin of attraction)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Rajajoukon ominaisuuksia Jos kuuluu johonkin ω-rajajoukkoon, niin silloin joko rata kuuluu samaan rajajoukkoon Rajajoukko voi sisältää radan pisteitä tai olla kiintopiste tai periodinen rata Jos ω-rajajoukko sisältää kiintopisteen, joka on nielu, niin

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaoottinen attraktori Jos on kaoottinen rata ja, niin on kaoottinen joukko Attraktori on sellainen ω-rajajoukko, jonka attraktioallas ei ole nollamittainen (kuvauksen määrittämässä avaruudessa) Kaoottinen attraktori on kaoottinen joukko, joka on myös attraktori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Ikedan kuvaus Ikedan kuvaus, jossa kiintopiste ja kaoottinen attraktori Kiintopisteen attraktioallas on valkoinen alue ja sen pisteiden rajajoukko koostuu pelkästä kiintopisteestä Kaoottisen attraktorin attraktioallas on harmaa alue ja jokaisen sen radan rajajoukko on

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki: Hénonin kuvaus Hénonin kuvaus ja sen kaoottinen attraktori Attraktioallas (harmaa alue), josta iteraatio päätyy joukkoon Attraktioaltaan ulkopuolella radat hajaantuvat

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Logistinen kuvaus Logistinen kuvaus on tiheä välillä [0,1] eli sen rata käy äärettömän usein mielivaltaisen lähellä jokaista välin pistettä kaikilla alkuarvoilla Siten [0,1] on kuvauksen ω-rajajoukko, joka on myös attraktori Väli [0,1] on siis kuvauksen kaoottinen attraktori

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Ratojen kaoottisuudesta (1/3) Kuten muistetaan, rata on kaoottinen jos se ei ole asymptoottisesti jaksollinen ja sen lyapunovin eksponentti on suurempi kuin 0 Mielivaltaisen radan kaoottisuutta ei kuitenkaan yleisesti pystytä varmistamaan Jos kaoottiselta näyttävä rata onkin jaksollinen hyvin pitkällä jaksolla, ei tätä välttämättä pystytä numeerisin keinoin havaitsemaan

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Ratojen kaoottisuudesta (2/3)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Ratojen kaoottisuudesta (3/3)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Yhteenveto ω-rajajoukko –Radan kasautumispisteiden joukko Attraktio, attraktioallas, attraktori –Joukko A attraktoi pistettä, jos pisteen ω-rajajoukko kuuluu A:han –Attraktori on attraktoiva joukko, jonka attraktioallas on ei- nollamittainen Kaoottinen rata ja joukko –kaoottinen joukko on kaoottisen radan ω-rajajoukko, joka sisältää radan Kaoottinen attraktori –Kaoottinen joukko, joka on samalla attraktori Ratojen kaoottisuuden osoittaminen –Yleinen kaoottisuuden todistaminen vaikeaa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Henri Hytönen Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä Etsi ja piirrä kuvauksen kaoottinen attraktori, kun ja –Etsi kokeilemalla alkupiste, jonka rata on kaoottinen ja pysyy rajoitettuna –Piirrä tästä alkupisteestä lähtien radan pisteet – ja voivat olla esimerkiksi ja 20000