S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Työvuorojen suunnittelu ja skedulointi Henri Tokola

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Työvuorojen skedulointi: Johdanto Miten työntekijät voidaan jakaa työvuoroihin? Rajoitteita: Tietty viikkotyöaika, viikonloput kustannuksiltaan kalliimpia, vapaapäiviä riittävän usein Huomioitavia asioita, esim. työaikalaki, henkilöstön hyvinvointi

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Esityksen sisältö Käydään läpi erilaisia ongelmia liittyen työntekijöiden aikataulun suunnitteluun –Vapaapäivien huomioiminen työvuorojen suunnittelussa –Työntekijöiden jako optimaalisesti työvuoroihin –Syklisen aikataulun luominen –Syklisen aikataulun erikoistilanteita

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus –Ongelma: Päivittäinen tarve työtekijöille n j, j=1,…,7 (Toistuu viikoittain, 1=sunnuntai, 7=lauantai) Jokainen työntekijä: Saa K 1 vapaata viikonloppua vapaaksi K 2 :sta peräkkäisestä viikonlopusta Työskentelee 5 päivää viikossa Voi työskennellä vain 6 peräkkäistä päivää putkeen –Miten työntekijöiden määrä saadaan minimoitua?

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, työntekijöiden määrä Alaraja työntekijöiden määrällä W voidaan laskea yksittäisistä rajoituksista –Viikonloppuisin on riittävästi työntekijöitä eli W ≥ k 2 *max(n lauantai, n sunnuntai )/(k 2 -k 1 ) –Viikoittain on riittävästi työntekijöitä eli W ≥ 1/5*sum(n j ) –yksittäisille päiville on riittävästi työntekijöitä eli W ≥ max(n 1, n 2, …, n 7 )

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, algoritmi Laskimme edellisessä kalvossa W:n eli alarajan työntekijöiden määrälle Seuraava 4-vaiheinen algoritmi jakaa vapaapäivät W:lle työntekijälle siten että aikaisemmat ehdot täyttyvät

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmi aikataulun löytämiseen 1. vaihe: Viikonloppuvapaat Lasketaan n siten että n = max(n lauantai, n sunnuntai ) Vaihe 1: –1. Viikonloppu: Jaa viikonloppuvapaa W-n ensimmäiselle työntekijälle, –2. Viikonloppu: Jaa viikonloppuvapaa W-n seuraavalle työntekijälle –Toista syklittäin siten että työntekijä 1 on vuorossa työntekijän W jälkeen

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmi aikataulun löytämiseen 2. vaihe: työntekijöiden luokittelu Vaihe 2: Tarkastellaan ensimmäistä viikkoa. Jaa työntekijät T1-T4 luokkiin viikonloppuvapaiden perusteella, (edeltävä viikonloppu=1), (seuraava viikonloppu=2) –T1: Viikonloput 1 ja 2 vapaat, tarvitsee 0 vapaapäivää, –T2: Viikonloppu 1 vapaa, tarvitsee 1 vapaapäivän, –T3: Viikonloppu 2 vapaa, tarvitsee 1 vapaapäivän, –T4: Ei viikonloppuja vapaana, tarvitsee 2 vapaapäivää Parita työntekijät luokissa T2 ja T3 (luokissa on aina sama määrä työntekijöitä)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmi aikataulun löytämiseen 3. vaihe: Vapaapäivien kiinnitys Vaihe 3: –Laske ylijäämävektori u siten että u j = W – n j kun j = 2,…,6 u j = n - n j kun j = 1,7 –Ylijäämä kuvaa työpäiviä jotka on mahdollista muuttaa vapaiksi. –Jaa vapaat työpäivät n:ään pariin siten että jos on mahdollista yksittäinen pari sisältää eri päivät. –Jaa vapaapäiväparit työntekijöille: Jokainen työntekijä T4(eli työntekijät joilta puuttuu 2 vapaapäivää) saa yhden vapaapäiväparin. T4:lle täytyy antaa pari joka sisältää eri päivät. (Tämä on aina mahdollista) Jokainen T2-T3 ”työ”-pari(eli työntekijät joilta puuttuu 1 vapaapäivä) saa jaettavakseen yhden vapaapäiväparin siten että T3 saa päivistä aikaisemman ja T2 päivistä myöhemmän. (jos vapaapäiväpari sisältää samat päivät työjakson pituus on 6 päivää, muutoin 5 päivää)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Algoritmi aikataulun löytämiseen 4. vaihe: Toista kaikille viikoille Toista vaiheet 1-3 kaikille tarvittaville viikoille seuraavasti: Vaihtoehto a) vapaapäiväpareissa on vain sellaisia pareja joissa molemmat päivät ovat eri päiviä (Esim. Maanantai-Tiistai) –T4 ja T3 luokat jaetaan samoille vapaapäiväpareille kuin ensimmäisellä kerralla –Toista Vaihtoehto b) vapaapäiväpareissa on sellaisia pareja joissa molemmat päivät ovat samat (Esim. Maanantai-Maanantai) –Toista vastaavasti kuin edellä ensimmäiselle viikolle

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, esimerkki Tarkastellaan tilannetta: Tarve: Jokainen työntekijä on vapaalla 3 viikonloppua 5:sta. Eli k 1 =3 ja k 2 =5 PäiväSMTiKToPeLa Tarve

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, esimerkki 1/5 W ≥ k 2 *max(n lauantai, n sunnuntai )/(k 2 -k 1 ) = 5*3/2=7.5 W ≥ 1/5 * sum(n j ) = 1/5*[ ] = 7 W ≥ max(3,5,5,5,7,3) = 7 eli saadaan että W = 8

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, esimerkki 2/5, Vaihe 1 Esimerkki: W = 8 työntekijää, n=max(3,3)=3 Jaetaan viikonloppuvapaat viikonloputtain W-n:lle työntekijälle (X=vapaa) LSMTiKToPeLaSMTiKToPeLaS 1 XXXX 2 XXXX 3 XXXX 4 XXXX 5 XXXX 6 XXXX 7 XXXX 8 XX

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, esimerkki 3/5 Lasketaan ylijäämä u, eli –u j = W – n j kun j = 2,…,6 –u j = n - n j kun j = 1,7 Valitaan n-paria: maanantai-tiistai,tiistai-keskiviikko, tiistai-keskiviikko PäiväSMTiKToPeLa Tarve Ylijäämä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, esimerkki 4/5 T1: 1,2 T2: 3,4,5T3: 6,7,8T4:- Parit: maanantai-tiistai,tiistai-keskiviikko, tiistai- keskiviikko LSMTiKToPeLaSMTiKToPeLaS 1 XXXX 2 XXXX 3 XX X XX 4 XX X XX 5 XX X XX 6 X XXXX 7 X XXXX 8 X XX

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus, esimerkki 5/5 T1: 6,7 T2: 1,2,8 T3: 3,4,5T4:- Parit: maanantai-tiistai,tiistai-keskiviikko, tiistai- keskiviikko LSMTiKToPeLaSMTiKToPeLaS 1 XXXX X 2 XXXX X 3 XX X X XX 4 XX X X XX 5 XX X X XX 6 X XXXX 7 X XXXX 8 X XX X

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Pohdintaa Algoritmi löytää aina ratkaisun Algoritmi voi myös löytää optimaalisen syklisen ratkaisun

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Työvuorojen aikataulutus 1/3 Edellisessä, vapaapäivien aikataulutuksessa työvuorojen kustannukset olivat samat Nyt –kustannukset riippuvat työvuorosta –syklin pituus etukäteen kiinnitetty

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Työvuorojen aikataulutus 2/3 m periodia (syklin pituus) Periodin i, i=1,…,m, tarvitaan b i määrä työntekijöitä n vuorokaavaa, jotka pitää liittää työntekijöihin Vuorokaava j määritellään vektorina (a 1j, a 2j, …, a mj ), missä –a ij =1 jos periodi i on työskentelyperiodi –a ij =0 jos periodi i ei ole työskentelyperiodi c j on hinta mitä maksaa jos henkilö työskentelee vuorokaava j mukaan Päätösmuuttuja x j on henkilöiden määrä jotka työskentelevät vuorokaavan j mukaan

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Työvuorojen aikataulutus 3/3 Saadaan kokonaislukutehtävä –Min c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n –s.e. –a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≥ b 1 –a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≥ b 2 –… –a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≥ b m –x j ≥ 0, kaikille j=1,…,n, –x j kokonaisluku, kaikille j=1,…,n, Matriisimuodossa: –Min cx –s.e. –Ax ≥ b –x ≥ 0 Yleinen tapaus vahvasti NP-täydellinen Seuraavaksi tarkastellaan erikoistapausta, syklista aikataulua

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklinen työvoiman aikataulutus Klassinen aikataulutustehtävä Työvuorojen aikataulutukseen verrattuna –m periodia (syklin pituus) –Periodiin i, i=1,…,m, tarvitaan b i määrä työntekijöitä –Kukin työntekijä työskentelee k peräkkäistä periodia (ja on vapaalla m-k periodia) –Näistä voidaan luoda vuorokaavat sisältävä matriisi joka sisältää kaikki vaihtoehdot (Kts esimerkki) (k,m)-syklinen työvoiman aikataulutus ongelma (engl. (k,m)-cyclic staffing problem) Aika Vuorot Esimerkki: (3,5)-ongelma

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklinen työvoiman aikataulutus, kokonaislukuongelman ratkaisu Kokonaislukuongelman erikoinen rakenne tekee mahdolliseksi ongelman ratkaisemisen tehokkaasti –Ratkaise ongelman lineaarinen relaksaatio saadaksesi tuloksen x 1 ’, x 2 ’ … x n ’ –Jos tulos ei ole kokonaislukuratkaisu Luo LP’ joka sisältää alkuperäisen ongelman lisäksi rajoituksen x 1 + … + x n = floor(x 1 ’+..+x n ’) Luo LP’’ joka sisältää alkuperäisen ongelman lisäksi rajoituksen x 1 + … + x n = ceil(x 1 ’+..+x n ’). LP’:n and LP’’:n ratkaisut ovat aina kokonaislukuratkaisuja. Näistä parempi on tehtävän ratkaisu. (LP’:lle ei välttämättä löydy käypää ratkaisua)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklinen työvoiman aikataulutus, esimerkki Tarkastellaan seuraavaa (3,5)-ongelmaa: A= b= c= 1. Lineaarinen relaksaation ratkaisu: x’= 2. Lisätään rajoite x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =8 ja saadaan LP’. Sille ei löydy käypää ratkaisua. 3. Lisätään rajoite x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =9 ja saadaan LP’’. Sille löytyy ratkaisu: x=

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklisen aikataulun erikoistilanteita Vapaapäivien aikataulutus Ylityöt Lineaarinen kustannus yli- tai alimäärästä työntekijöitä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Vapaapäivien aikataulutus Erikoistilanne vapaapäivien aikataulutuksesta: –Kaikki työntekijät saavat kaksi päivää viikossa vapaaksi –Joka toinen viikonloppu vapaa –Työntekijä ei saa työskennellä yli 6:ttä päivää putkeen Tämä voidaan ratkaista vastaavasti kuin työvuorojen aikataulutus –Luodaan iso, kahden viikon ja kaikkien vaihtoehtojen rajoitematriisi A

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklinen työvoiman aikataulutus, ylityöt Esimerkki: –3 vuoroa: 0-8, 8-16, 16-24, ylityömahdollisuus 0-8h vuoron jälkeen Voidaan mallintaa viereisellä rajoitematriisilla 1=alimatriisi, jossa kaikki alkiot 1:siä 0=alimatriisi, jossa kaikki alkiot 0:ia 0\1=alimatriisi, jossa diagonaalin yläpuolella olevat alkiot ovat 1:siä ja muut 0:ia Rajoitematriisi siis sisältää kaikki mahdolliset ylityökombinaatiot Voidaan ratkaista vastaavasti kuin syklisen aikataulutuksen ongelmat 100\ Aika Vuorot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklinen: Lineaarinen kustannus yli- ja alimäärästä työntekijöitä Työntekijöiden kysyntä voi vaihdella hinnan funktiona –b i joustava tavoitekysyntä –Lineaarinen kustannukset c’, c’’ jos työntekijöitä on vähemmän tai enemmän kuin b i. –x’ työntekijöiden alimäärä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Syklinen: Lineaarinen kustannus yli- ja alimäärästä työntekijöitä Saadaan seuraava kokonaislukuongelma –Min cx+c’x’+c’’(b-Ax-x’) –s.e. Ax+Ix’ ≥ b x,x’ ≥ 0 Tämä voidaan ratkaista vastaavasti kuin syklinen ongelma jos ongelma rajoitettu alhaalta –Eli jos ja vain jos (c-c’’)A ≥ 0 ja (c’-c’’) ≥ 0

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Pohdintaa Kävimme läpi erilaisia menetelmiä työvoiman aikataulukseen Tarkastelimme vain muutamia rajoituksia, käytännössä voi olla monia muitakin rajoitteita

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Kotitehtävä 1/2 Kirjan tehtävä 13.7 Ratkaise seuraava (5,7)-syklinen työvoiman aikataulutusongelma: A= b= c=

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 20 - Henri Tokola Optimointiopin seminaari - Syksy 2009 Kotitehtävä 2/2 –Min cx s.e. Ax ≥ b x ≥ 0 x kokonaisluku –Ratkaise LP-relaksaatio. Jos ratkaisu ei ole kokonaisluku, luo LP’ ja LP’’ (kts. aikaisempi kalvo), ratkaise ne ja valitse paras ratkaisu