S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaskadit Kim Liljeström

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Sisältö Johdanto Feigenbaumin vakio Skemaattiset bifurkaatiokaaviot Geneeriset bifurkaatiot Kaskaditeoreema Yhteenveto Kotitehtävä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Johdanto Jatketaan bifurkaatioiden tarkastelemista 1-D kuvauksissa. Kaskadi = ääretön jono jakson tuplaavia bifurkaatioita. Kaskadeja esintyy lähes kaikissa matala- dimensionaalisissa systeemeissä, joissa on havaittavissa kaoottista käyttäytymistä. Tämän esitelmän pääfokus on 1-D kuvauksissa, esim. neliöllinen kuvaus f(x) = ax(1-x).

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Johdanto Miksi halutaan tutkia kaskadeja? Kaskadeissa on ilmiöitä ja säännöllisyyksiä, jotka tuottavat universaaleja lukuja. Luvut ja ilmiöt ovat havaittavissa fysikaalisissa ja numeerisissa kokeissa. Tavoitteena ymmärtää kaskadien ominaisuuksia ja niihin pätevät säännöt sekä miten ne liittyyvät kaaokseen.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki 1/2 Neliöllinen kuvaus f(x) = ax(1-x) Useita jaksollisia ratoja havaittavissa. Bifurkaatiopisteessä jaksolliset pisteet muuttavat stabiilisuutta. Kaskadien kehittyminen systeemissä johtaa lopulta kaaokseen.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Esimerkki 2/2 Jakson 3 kaskadi Jakson 5 kaskadi f(x) = ax(1-x)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Feigenbaumin vakio Bifurkaatiopisteet ovat suhteessa toisiinsa. Peräkkäisten bifurkaatioiden parametrivälien suhde lähestyy vakiota. Jos n:s bifurkaatio tapahtuu kun niin = Feigenbaumin vakio

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Feigenbaumin vakio JaksoParametri aSuhde 31, , , , , , , , , , , ,6524 JaksoParametri aSuhde 21, , , , , , , , , , , , , ,6688 Havaittavissa monessa dynaamisessa systeemissä. Kuvauksen f(x)=a-x^2 jakson 3 kaskadi. Jakson 2 kaskadi henonin kuvauksessa.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Feigenbaumin vakio JaksoParametri aSuhde 23 43, , , , , , , , , , , , ,6694 f(x) = ax(1-x)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Feigenbaumin vakio Feigenbaumin vakio on universaali kaikille 1-D kuvauksille, joiden Schwarzin derivaatta on negatiivinen. Joukko systeemejä, jotka lähestyvät kaaosta jakson tuplaavien bifurkaatioiden kautta, m.m. logistinen kuvaus, sinikuvaus:, Lorenzin systeemi, Mandelbrotin joukko etc. Systeemit haarautuvat samalla vauhdilla. Kaaoksen ennustaminen.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Skemaattiset bifurkaatiokaaviot Bifurkaatiokaaviot epähavainnollisia. Systeemin dynamiikan tutkiminen vaikeampaa ilman eksplisiittisiä kaavoja, esim. poincaren kuvaus. Bifurkaatiokaavioiden ja kaskadien analysoimisen ja tutkimisen helpottamiseksi on olemassa skemaattisia kaavioita.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Skemaattisen kaavion elementit Bifurkaatiopisteet ja satulapisteet Hyperboliset jaksolliset radat (ml. jakso 1) Stabiilit radat ovat jaksollisia nieluja. Epästabiilit radat ovat jaksollisia lähteitä. –Olkoon epästabiilin jaksollisen pisteen p jakso k. Tällöin piste on tavallinen torjuva piste jos ja käänteinen(flip) torjuva piste jos. Hyperboliset jaksolliset radat voidaan jakaa kolmeen aliryhmään: stabiileihin, tavallisiin epästabiileihin ja käänteisesti epästabiileihin.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Skemaattisen kaavion elementit Määritelmä: Hyperbolisen jaksollisen radan tai kiintopisteen maksimaalista polkua kutsutaan haaraumaksi (branch). Jaksollisen radan tapauksessa yksi piste haaraumassa edustaa radan kaikkia pisteitä.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Skemaattisen kaavion elementit 4 mahdollista loppua haaraumalle. G1 Karkaa raja-alueen ulkopuolelle. G2 loppuu bifurkaatio-pisteeseen josta uusia haaraumia syntyy. G3 loppuu joukkoon kiinteitä pisteitä. G4 läpäisee parametrivälin [a0,a1]

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Geneeriset bifurkaatiot Määritellään bifurkaatioiden tyypillinen käyttäytyminen Hypoteesi: Kaikki ei hyperboliset kiintopisteet ovat joko satulapisteitä tai jakson tuplaavia bifurkaatioita Mikä tahansa ei-geneerinen kuvaus voidaan approximoida geneerisellä kuvauksella.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Geneeriset bifurkaatiot Satulapisteen geneerinen bifurkaatio Jakson tuplaava geneerinen bifurkaatio

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Geneeriset bifurkaatiot

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaskaditeoreema Pätee kaottisiin systeemeihin joilla on enintään yksi epästabiili suunta joka pisteessä. Ainoa tapa jolla kaoottinen attraktori voi syntyä on kaskadimuodostelman kautta.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 – Kim Liljeström Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kotitehtävä Oleta että p on hyperbolinen kiintopiste ja { } jono jaksollisia pisteitä siten että. Selitä miksi jos on :n pienin jakso.