S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 1 Yksiulotteiset kuvaukset

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 2 Sisältö •Johdanto •Gobweb plot •Kiintopisteiden stabiilisuus •Jaksolliset pisteet

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 3 Sisältö •Logistiset kuvaukset –G(x)= 4x(1-x) •Herkkä riippuvuus alkutilasta •Kulkureitti •Kotitehtävä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 4 Johdanto •Dynaaminen järjestelmä koostuu: –Tiloista (state) –Säännöstä (rule) jonka perusteella nykyinen tila voidaan ratkaista vanhojen tilojen perusteella •Säännön tulee olla deterministinen •Diskreetti aikainen järjestelmä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 5 Johdanto •Sääntöjä kutsutaan usein kuvauksiksi (map) •Kuvaus on funktio, jonka input avaruus on sama kuin output avaruus •Olkoon x piste ja f kuvaus. x:n rata (orbit) f:ssä on joukko pisteitä •Radan aloituspiste x on radan alkuarvo (initial value) •Jokin piste p on kuvauksen kiintopiste (fixed point), jos f(p)=p

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 6 Esimerkki •g(x)=2x(1-x) on kuvaus •x=0.01 rata g:ssä on {0.01,0.0198,…} •g:n kiintopisteet x = 0 sekä x = 1/2

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 7 Johdanto funktiota f sovelletaan alkuarvoon k kertaa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 8 Cobweb plot •Radan graafinen kuvaus •Funktio f kuvataan yhdessä diagonaalisen viivan y=x kanssa •Funktion ja viivan risteykset ovat kiintopisteitä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 9 Cobweb plot •Askel 1: pystysuoraan funktiolle, koordinaatit: •Askel 2: Funktiolta vaakasuoraan viivalle y=x •Askel 3: Pystysuoraan viivalta funktiolle •Askel 4: => askel 2

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 10 Kiintopisteen stabiilisuus •Ominaisuus, jolloin pisteet lähellä kiintopistettä lähestyvät edelleen kiintopistettä järjestelmän kehittyessä •Realistisen järjestelmän havaittu steady state tulee vastata stabiilia kiintopistettä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 11 Kiintopisteen stabiilisuus •Jos pistettä p (f(p) = p) lähellä olevat pisteet lähestyvät p:tä, kutsutaan p:tä nieluksi (sink) tai puoleensa vetäväksi kiintopisteeksi (attracting fixed point) •Jos on olemassa •Jos läheiset pisteet loittonevat p:stä, on p lähde (source) tai torjuva kiintopiste (repelling fixed point)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 12 Kiintopisteen stabilisuus •Josp on nielu •Josp on lähde •Esim. f(x)=2x(1-x) (0, 0.5)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 13 Jaksolliset pisteet •f(x)=3.2x(1-x) •Kiintopisteet –x=0 ja x=22/32 –molemmat lähteitä •Pyörii pisteiden p1 = ja p2 = välillä

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 14 Jaksolliset pisteet •f(p1)=p2 ja f(p2)=p1 •f²(p1)=p1 –eli p1 on f²=h kiintopiste •Heilahtelu p1 ja p2 välillä on stabiilia •Pari {p1,p2} on jaksollinen rata

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 15 Jaksolliset pisteet •Olkoon f kuvaus, p on jaksollinen piste jaksolla k jos ja k on pienin positiivinen kokonaisluku (period point of period k) •Jakson k jaksollinen rata on rata, jonka alkupiste on p ja koostuu k pisteestä (periodic orbit of period k)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 16 Jaksolliset pisteet •f kuvaus, p jaksollinen piste jaksolla k. p:n jakson k jaksollinen rata on jaksollinen nielu (periodic sink) jos p on nielu kuvaukselle •Jaksollien rataon nielu jos •ja lähde jos

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 17 Logistiset kuvaukset •Yksinkertainen neliöllinen kuvaus •Jaksollisten ratojen, bifurkaatioiden, kaaoksen esittämiseen •Yksi kiintopiste a<1, x=0 nielu •Kaksi kiintopistettä 1<a<3, x=(a-1)/a nielu •a>3, kiintopiste on epästabiili

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 18 Logistiset kuvaukset •a) a = 0.8 •b) a = 2 •c) a = 3.2

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 19 Logistiset kuvaukset •Bifurkaatio •Approksimoi kiintopisteitä tai jaksollisia puoleensa vetäviä joukkoja •Bifurkaatio kaavio –(1) valitse a (a =1) –(2) valitse x umpimähkään [0,1] –(3) laske rata –(4) aloita kuvaus 101 iteraatiolla –(5) kasvata a ja aloita alusta

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 20 Logistiset kuvaukset •a=3.86 •Kaoottinen attraktori (chaotic attractor) –Voivat yllättäen kadota tai ilmestyä –Tai muuttaa kokoaan –Käännekohta (crisis)

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 21 G(x)=4x(1-x) •Ei yhtään puoleensa vetävää joukkoa •Hyvin monipuolinen dynaaminen käyttäytyminen •Kaksi epävakaata kiintopistettä •Jokaisen iteraation myötä kiintopisteiden lukumäärä kaksinkertaistuu

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 22 G(x)=4x(1-x) •Jaksollisia ratoja jokaiselle jaksolle

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 23 Herkkä riippuvuus alkutilasta •Kaaoksen tuntomerkki •Ominaisuus, missä kaksi mielivaltaisen lähekkäistä pistettä lopulta ajautuu erilleen •Esim. f(x)=2x mod 1 –x = 0.3 –x =

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 24 Herkkä riippuvuus alkutilasta

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 25 Määritelmä •Pisteelläon herkkä riippuvuus alkutilasta, jos on olemassa d>0 siten, että mikä tahansa lähistö N sisältää pisteen x siten että •Mitä lähempänä x on sitä suurempi k

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 26 Kulkureitti (Itineraries) •Kirjanpitomenetelmä •Herkän riippuvuuden tutkimiseen •Radan informaatio voidaan ilmaista diskreetein symbolein –Symbolinen dynamiikka

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 27 Esimerkki •G(x)=4x(1-x) –L [0,0.5], R[0.5,1] •Esimerkki

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 28 Kulkureitti •Halutaan identifioida alueita yksikköväliltä, missä aloitusarvot saavat saman spesifisen sekvenssin symboleita •Määritettäessä k ensimmäistä kulkureittiä saadaan vaihtoehtoa

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 29 Linkkejä • sWiki.htmhttp://people.uncw.edu/hermanr/Chaos/Chao sWiki.htm • rse/Lesson4/Demos.htmlhttp:// rse/Lesson4/Demos.html

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 30 Kotitehtävä •A) –Piirrä Cobweb plot jostain kuvauksesta (min 5 iteraatiota, 1p) •B) –Etsi f(x)=4x(1-x) jakso 2 jaksollinen rata (3p) –Näytä että jakson 2 jaksollinen rata on lähde (1p)