2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 2.1.1. Pinta-alan käsite Kirja, sivut 44 -45.

Esitys aiheesta: "2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 2.1.1. Pinta-alan käsite Kirja, sivut 44 -45."— Esityksen transkriptio:

1 2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Pinta-alan käsite Kirja, sivut

2 Esim. 1 A = lim An n->  missä a, h kanta ja korkeus p monikulmion piiri

3 2.1.2. Pinta-ala porrassumman raja-arvona
Funktion f porrassumma yli välin [0,4]

4 Porrassumman laskeminen
Porrassummassa suikaleen ala saadaan valitsemalla korkeudeksi suikaleen puolivälissä oleva funktion arvo. Laske jakopisteet, jakovälin pituus x ja välin keskipiste xk. Laske f(x1)·  x + f(x2)·  x + … = Riemannin summa on porrassumma , missä xk:t voivat olla mitä tahansa välin x-koordinaatteja

5 Pinta-ala porrassummien raja-arvona
Olkoon funktio f jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [a, b] Tällöin suorien x = a, x=b, x-akselin ja käyrän y = f(x) rajoittaman alueen pinta-ala saadaan porrassummien raja-arvona, kun jakoa tihennetään rajattomasti niin, että kaikkien osavälien pituudet lähestyvät nollaa.

6 2.1.3 Ala- ja yläsumma Käyrän ja x-akselin välisen alan arvioiminen ylä- ja alasummien avulla. Jaetaan tarkasteluväli [a,b] n:ään yhtä suureen väliin x = (b - a) / n Yläsumma = Sn = missä Mk = f(xk) on funktion suurin arvo k:nnella välillä Alasumma = sn = missä mk = f(xk) on funktion pienin arvo k:nnella välillä

7 Jos alan arvoksi valitaan keskiarvo
½(s + S) = A, niin virhe on korkeintaan ± ½(S - s) A =½(7½+11½)=9,5 Virhe korkeintaan ½(11½ - 7½) = 2

8 Määrätty integraali Jos porrassummat lähestyvät tiettyä raja-arvoa, kun jakoa tihennetään rajattomasti niin raja-arvoa sanotaan funktion f määrätyksi integraaliksi välillä [a,b]. HUOM.! f:n ei tarvitse olla positiivinen. Merkintä ”määrätty integraali a:sta b:hen”

9 E.1. (t. 151 a) E.2. (t.151c)