Viikko 2: Approksimaatiota ja suuruusluokka-arvioita

Esitys aiheesta: "Viikko 2: Approksimaatiota ja suuruusluokka-arvioita"— Esityksen transkriptio:

1 Viikko 2: Approksimaatiota ja suuruusluokka-arvioita

2 Matemaatiset approksimaatiot
Taylorin sarja (1+x)-1/2 ≈ 1 –(x/2) + (1*3/2*4)x2 –(1*3*5)/(2*4*6)x3 … Jos x=0.1 ja otetaan vain ensimmäinen termi (1+0.1)-1/2 ≈ 1-(0.1/2) = 0.95 Tarkka arvo eli virhe < 0.4%

3 Matemaatiset approksimaatiot (2)
Stirlingin kaava: Likiarvo 10! ≈ n=10 tarkasti 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = Ero ≈ 0.8%

4 Integraalin approximointi
Laatikkoapproksimaatio: Korkeus 1 yksikkö, leveys 2 yksikköä = 2 Tarkka arvo √π ≈ (virhe 12%)

5 Heiluri Fysikaalinen approksimaatio:
Langan massaa ja pallon ilmanvastusta ei huomioida Matemaattinen approksimaatio: Sin α≈α kun α pieni α

6

7 Muita approksimaatioita
Maapallo on pyöreä van der Waals: atomit kokoonpuristumattomia palloja Ohm: sähkövirta on jatkuvaa I = U/R Hooke: aine venyy elastisesti F = kx Newton: jäähtymislaki dT/dt ≈ B (T-T0)

8 Suuruusluokat Kun ollaan kiinnostuneita suuruusluokista, virhe tekijällä 5 on oikea vastaus, ja virhe tekijällä 2 on erinomainen vastaus. Kuinka monta lintua Suomessa on rengastettu lähtien ? Paljonko Helsingin kaikki puut maksavat yhteensä ? Paljonko öljyä on vielä pumppaamatta? Mikä on ihmissilmän dynaaminen alue ? Paljonko rintasyövän varhaisempi toteaminen säästäisi ? Paljonko korroosio aiheuttaa taloudellista vahinkoa ?

9 Biologia Ihmisen perimä on 3*109 emäsparia 1 nm emäksen koko
1 nm * 3*109 paria = 3 metriä ”DNA sylinterin” tilavuus V = Ah = πr2*h = 3.14*(10-9)2*3 m3 = 9*10-18 m3, solun tuman tilavuus; Pallomaisuusoletus V= 4/3 *3.14*r3 antaa tuman säteeksi ≈ 1 µm (r) Tuma oletetaan 10% solusta (pituudesta)  Solun säde r=10 µm Solun tilavuus V= 4/3 *3.14*r3 = 4*10-15 m3

10 Ihmisen tilavuus V= 0.1 m3  0.1 m3/4*10-15 m3 = 2.5 *1013 solua
Some sources told us that the average adult human body is made up of "50 million million" (50 trillion) cells, while others put the figure closer to 10 trillion. Science NetLinks, a resource for science teachers, stated that there are approximately "ten to the 14th power" (that's 100 trillion) cells in the human body.

11 USAn vankiloiden kustannukset
2 miljoonaa vankia Verrataan hotelliasumiseen ja ravintolassa syömiseen: 100$/yö + 3*10 $ ateriat = 130 $/vrk $/vuosi/vanki 96 miljardia

12 USAn vankiloiden kustannukset (2)
Suomalaisessa päivähoidossa 72 €/lapsi/pv €/vuosi (11 kk, 20 pv/kk) Mutta vankilassa 24/7/365 4* ≈ /vanki * 127 miljardia Kustannukset ovat 80 miljardia dollaria.

13 Kiina-Suomi laivarahdin osuus lenkkitossun hinnassa
Kontti = 8*8*20 jalkaa ≈ 2.4*2.4*6 m3 ≈ 35 m3 Iso konttilaiva, 200 metriä pitkä. Montako konttia ? 20*7*(200/6)*2 ≈ konttia Kenkälaatikko 30*20*15 cm 4000 lenkkarit/kontti 40 M lenkkarit/laiva

14 Laivan kustannukset Ostohinta: Työvoimakustannukset: 1 M€ 10 M€
20 miestä, 2000 €/kk  0.5 M€/vuosi

15 Moottorin kulutus Auton moottorin kulutus: Moottori:
5 l/100 km = 5 l/tunti Laivan moottori käy vuodessa 365*24*0.8 tuntia = 7000 tuntia. Laivamoottorilla sama kulutus kilowattia kohti. 5*300*7000 litraa/vuosi 10 miljoonaa litraa 1 €/litra = 10 M€/vuosi Moottori: 100* auton moottori 1000 * auton moottori * auton moottori Emme osaa sanoa onko 100X vai 1000X parempi, otamme geometrisen keskiarvon: gka = (100*1000)1/2 ≈ 300

16 10 vuoden saldo Lenkkitossujen määrä: 100 M€ laivan hinta 5 M€ palkat
Kiina-Suomi 20 päivää  73 matkaa (koska 20% ajasta satamassa) konttia *4000 lenkkarit*73 matkaa = 3 miljardi lenkkarilaatikkoa 100 M€ laivan hinta 5 M€ palkat 100 M€ diesel 205 M€ kulut Kulut/lenkkarit: 7 senttiä

17 Vuoren korkeus Oletetaan että vuoren pohjimmainen graniitti sulaa yllä olevan massan (potentiaalienergian) vuoksi: mgh = mHominaissulamislämpö h = Hsulamis /g = 2.4*105 J/kg : 10 N/kg = m Tämä on suuruusluokka-arvio, eli kun virhe Everestiin on 3X, tämä on aivan mainio tulos !

18 Vuoren korkeus (2) Graniitin puristuslujuus on laboratoriossa mitattavissa oleva suure: 2*108 N/m2 Tätä suurempi paine saa graniitin murenemaan/valumaan p = ρgh h = p/ ρg h = 2*108 N/m2 /(3000 kg/m3 * 10 m/s2) h = 6700 m

19 Vuoren korkeus (3) Onko meillä vertailukohtia ? Kuun korkein vuori ?
Marsin korkein vuori ? Marsin g= 3.7 m/s2 Marsin korkein vuori olisi 18 km Olympus Mons on 25 km korkea !

20 ABCD: Partureita Suomessa
2.7 miljoonaa miestä 6 kertaa vuodessa parturissa 16 miljoonaa parturikäyntiä * 30 € tukanleikkuun hinta  500 M€ rahaa parturiin Parturin vuositulot (palkka + vuokrat + muut ) ≈ €  parturia

21 ABCD: Molekyylien koko renkaan eliniästä
Kuinka monta kilometriä autonrenkaan elinikä ? Montako pyörähdystä ? Kulutusuran syvyys alussa-lopussa ? Oletus: 1 molekyyli/pyörähdys poistuu

22 Tehtävät ryhmille: 1. Kuinka monta ihmistä on lentämässä tällä hetkellä ? 2. Kuinka monta ihmistä eläimet työllistävät Suomessa ? 3. Kuinka paljon Suomessa heitetään ruokaa roskiin ? 4. Golden Gate sillan 50-vuotisjuhlissa silta suljettiin autoilta ja ihmiset täyttivät sillan. Vertaa autojen ja ihmisten aiheuttamaa kuormaa sillalle !

23 Kotitehtävät Paavi Johannes Paavali II vieraili kotikaupungissaan Krakovassa vuonna Väitetään että 4 miljoonaa ihmistä tuli ulkoilmamessuun. Kuinka isosta alueesta oli kysymys ? Kuinka monta Bajamajaa tarvittiin ? Laske muutamia itsevalitsemiasi tunnuslukuja ! Kuinka paljon maksaa Taiwanista tuotavan läppärin lentorahti ? Poikakoulun alimman portaan reuna on sadan vuoden aikana kulunut 5 mm. Minkä kokoisia atomit ovat ? Taxi-Mersu vs. Taxi-Avensis: jos Mersu maksaa € ja Avensis €, kuinka paljon enemmän rahaa jää kuukaudessa käteen Avensis-taxille. ? Autoveroa ei oteta mukaan laskelmaan. Mikä on Kuolontähden massa ? Vertaa maailman teräksen tuotantoon !