Vektorit Trigonometria

Esitys aiheesta: "Vektorit Trigonometria"— Esityksen transkriptio:

1 Vektorit Trigonometria
MAB8 Kertausmoniste Vektorit Trigonometria Juhani Kaukoranta Raahen lukio

2 𝑎 || 𝑏 𝑐 ↑↓ 𝑑

3 Vektorien summa

4 Vektorien erotus (vastavektorin avulla)

5 Vektorien erotus (kärkien väliin)

6 Vektorin kertominen luvulla

7 Vektorin pituus 3 6

8 Xy-tason vektorit

9 Paikkavektori: Origosta P(x,y)

10 Vektorin pituus P(x,y) O

11 Xy-tason vektorien pituuksia

12 Kahden pisteen välinen vektori

13 Kahden pisteen välinen vektori

14 3D-koordinaatisto (xyz)

15

16 Kahden xyz-avaruuden pisteen välinen vektori ja etäisyys
Lasketaan aivan samalla tavalla kuin xy-pisteille

17

18 Vektorien pistetulokulma
Kahden vektorin pistetulo antaa vektorin välisen kulman. Muun muassa kohtisuoruus löytyy tällä

19 Vektorit kohtisuorassa: pistetulo=0
Sekä tason xy-vektoreille että 3D-avaruuden xyz-vektoreille Jos Niin vektorit ovat kohtisuorassa, siis Esim

20 Vektorien välinen kulma
Pistetulo jaettuna pituuksien tulolla

21

22 Trigonometriaa

23 Sin ja cos yksikköympyrän avulla
Säde=1, katsotaan kehäpisteen x-ja y-koordinaatit: Sin = y-koordinaatti cos = x-koordinaatti Kuvassa sinα = 0,50 ja cosα = 0,86

24 sin 220° = -0,6 cos 220° = -0,77 sin(-50°) = -0,75 cos(-50°)= 0,6

25 Siniä vastaavan kulman ratkaiseminen
Ratkaistaan laskimella yksi kulma Toinen ratkaisuhaara: (Huom! Yksi ratkaisu on esim -19⁰+1·360⁰ = 341⁰

26 Cosinia vastaavan kulman ratkaiseminen
Ratkaistaan laskimella yksi kulma  ratkaisuhaara:  Toinen ratkaisuhaara: Huom!: ratkaisuna on esim. kulma -135°+360°=225°

27 Radiaanit ja asteet Täysi ympyrä = 360°=2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑎𝑛𝑖𝑎 Radiaanit asteet

28 Radiaanit ja asteet verrannolla
Kuinka monta astetta on 1,725 radiaania? Radiaanit Asteet 180 1,725 x Kerrotaan ristiin