5. Fourier’n sarjat T055303.

Esitys aiheesta: "5. Fourier’n sarjat T055303."— Esityksen transkriptio:

1 5. Fourier’n sarjat T055303

2 5.1 Alustavia määrittelyjä
Olkoon K seuraavassa reaalilukujen joukko R tai kompleksilukujen joukko C. Funktio f : K  K on jatkuva, kun T055303

3 Funktio f on paloittain jatkuva välillä [a, b ], jos se on määritelty ko. välin jokaisessa pisteessä ja sillä on korkeintaan äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia. T055303

4 Tärkein paloittain jatkuva funktio on kanttiaalto.
Epäjatkuvuuskohdissa tulee funktion vasemman ja oikeanpuoleisten raja-arvojen olla äärellisiä. Tärkein paloittain jatkuva funktio on kanttiaalto. T055303

5 T055303

6 Funktio f on jaksollinen, jos f (x ) = f (x + T ) Esimerkki 1.
Mikä on seuraavien funktioiden jakso? T055303

7 T055303

8 T055303

9 T055303

10 T055303

11 T055303

12 Funktio f on pariton, kun f (-x ) = - f (x )
Funktio f on parillinen, kun f (x ) = f (-x ) T055303

13 Mitkä edellisistä funktioista ovat parillisia tai parittomia?
Esimerkki 2. Mitkä edellisistä funktioista ovat parillisia tai parittomia? T055303

14 Osoittautuu, että trigonometristen funktioiden parillisuuden ja parittomuuden hahmottaminen on erilaisten signaalien matemaattisen esittämisen kannalta tärkeää. T055303

15 T055303

16 Sinifunktio on pariton ja kosinifunktio on parillinen
Sinifunktio on pariton ja kosinifunktio on parillinen. Ne ovat myös jaksollisia: jaksona on 2 T055303

17 Funktio f on diskreetti, jos f on määritelty vain reaaliakselin tai kompleksitason erillisissä pisteissä. T055303

18 5.2 Yleistä Fourier-sarjoista
Aikaisemmin on havaittu, että monissa tapauksissa funktion f esittämiseen voidaan käyttää potenssisarja-kehitelmää T055303

19 Ns. kantafunktioiksi on siis valittu 1, x, x 2, …
Tekniikan ongelmia analysoitaessa kantafunktioiksi otetaan sopivasti valitut trigonometriset funktiot, jolloin saadaan sarjakehitelmäksi T055303

20 T055303

21 5.3 Täsmällinen määrittely
Seuraavat ehdot ovat tärkeitä Fourier-sarjan suppenemisen kannalta. Olkoon f : R  K jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. T055303

22 Sanotaan, että funktio f toteuttaa ns
Sanotaan, että funktio f toteuttaa ns. Dirichlet’n ehdot välillä [-T/2, T/2], jos seuraavat ehdot toteutuvat: T055303

23 1. Funktio f on paloittain jatkuva ja korkeintaan äärellinen määrä paik. ääriarvokohtia.

24 Lause. Olkoon f jaksollinen funktio, joka toteuttaa Dirichlet’n ehdot. Tällöin funktion f Fourier-sarja on muotoa T055303

25 T055303

26 ja ko. sarja suppenee kaikilla t :n arvoilla.
Huom. Omegalle voidaan antaa fysikaalinen tulkinta: kulmataajuus. T055303

27 Määritä seuraavan jaksollisen signaalin Fourier-sarjaesitys.
Esimerkki 3a. Määritä seuraavan jaksollisen signaalin Fourier-sarjaesitys. T055303

28 T055303

29 Esimerkki 3b. Määritä seuraavan signaalin Fourier-sarjaesitys. Ohje: Etsitään signaalin määrittelemä funktio ensin yhden jakson mittaisella välillä. T055303

30 T055303

31 T055303

32 T055303

33 Kokoaaltotasasuuntaus: f (t ) = | sin t |
Esimerkki 4. Kokoaaltotasasuuntaus: f (t ) = | sin t | Määritetään sen Fourier-sarja. T055303

34 T055303

35 Jos funktio f toteuttaa Dirihclet’n ehdot, niin mikäli
Lause. Jos funktio f toteuttaa Dirihclet’n ehdot, niin mikäli - f on parillinen, F-sarjasta jää pois sinitermit, - f on pariton, F-sarjasta puuttuvat kosinitermit. T055303

36 Sarjan muita termejä kutsutaan harmoniksiksi komponenteiksi.
Fourier-sarjassa termi a0 / 2 on funktion f (t ) keskiarvo ja sitä kutsutaan tasakomponentiksi. Sarjan muita termejä kutsutaan harmoniksiksi komponenteiksi. T055303

37 Yleensä ensimmäiset termit vaikuttavat kokonaisuuteen enemmän.
Kertoimet an ja bn ilmoittavat, miten suuri vaikutus kullakin taajuuskomponentilla on kokonaisuuteen. Yleensä ensimmäiset termit vaikuttavat kokonaisuuteen enemmän. T055303

38 Funktioita sin (kt) ja cos (kt) sanotaan harmonisiksi monikerroiksi.

39 Lisää F-sarjan laskemisesta
Lause. Olkoon f (t ) T-jaksoinen integroituva funktio ja c  R. Tällöin T055303

40 Tulos sallii funktion nostamisen ”helpompaan asemaan”.
Huom. Ainoastaan kerroin a0 on laskettava alkuperäisestä funktiosta!!! T055303

41 Määritä seuraavan sakarapulssin Fourier-sarja.
Esimerkki 5. Määritä seuraavan sakarapulssin Fourier-sarja. T055303

42 T055303

43 5.4 F-sarjan eksponenttimuoto
Eulerin kaavan avulla jaksollisen funktion f Fourier’n sarjalle voidaan saattaa esitys T055303

44 missä T055303

45 Kompleksisen Fourier-sarjaesityksen ja Fourier-sarjan trigonometrisen esitysmuodon välillä on seuraava yhteys: T055303

46 T055303

47 Kertoimet c-k tulee nähdä apuvälineinä, joita ilman matemaattinen esitys on mahdoton. Reaalimaailman kannalta oleellinen informaatio nähdään kertoimista ck . T055303

48 Parittomilla funktioilla ko. kertoimet ovat puhtaita imaginaarilukuja.
Parillisilla funktioilla kompleksiset Fourier-kertoimet ovat puhtaita reaalilukuja. Parittomilla funktioilla ko. kertoimet ovat puhtaita imaginaarilukuja. T055303

49 5.5 Yhteenvetoa Jaksollisen funktion f(t) F-sarja voidaan esittää seuraavasti T055303

50 Tarkastellaan jaksollista funktiota välillä [0, T].
Esimerkki 4. Tarkastellaan jaksollista funktiota välillä [0, T]. T055303

51 Määritä sen Fourier-sarja.

52 5.6 Fourier-analyysistä Jaksollisen funktion kompleksisen Fourier-sarjan termien kertoimet ck muodostavat kyseisen funktion spektrin. Spektri kuvaa funktiota aika-alueen sijasta taajuustasossa. T055303

53 Muuttujana on siis taajuus.
Spektrin sisältämä informaatio jaetaan kahteen osaan käsittelemällä erikseen amplitudia |ck| ja vaihetta . T055303

54 Esimerkki 5. Tutkitaan seuraavaa sakarapulssijonoa ja määritetään sen kompleksiset Fourier-kertoimet. Havainnollista spektriä. T055303

55 T055303

56 5.7 Parsevalin yhtälö Oletetaan, että funktiolla f on komp-leksinen Fourier-sarjaesitys. Tällöin voidaan johtaa ns. Parsevalin yhtälö, joka voidaan esittää myös reaalisten Fourier-kertoimien avulla: T055303

57 T055303

58 Mikäli jaksollisen funktion jännitteen tai virran Fourier-kertoimet ovat tiedossa, pystytään Parsevalin yhtälön avulla laskemaan ko. suureiden teho näitä kertoimia käyttämällä. T055303

59 Funktion neliön keskiarvoa kutsutaan signaalin keskimääräiseksi tehoksi.

60 Parsevalin yhtälö merkitsee siis sitä, että jaksollisen signaalin keskimääräinen teho on signaalin harmonisten komponenttien keskimääräisten teho-jen summa. T055303

61 Kertoimien |ck|2 avulla voidaan esittää tehospektri.

62 Määritetään signaalin f(t) = 0.5+sin t +0.3cos t + 2.5 sin 2t
Esimerkki 6. Määritetään signaalin f(t) = 0.5+sin t +0.3cos t sin 2t keskimääräinen teho. T055303

63 Esimerkki 7. Määritetään jaksollisen funktion
tehospektri. T055303

64 5.8 Tiivistelmä Signaalin spektri esitetään yleensä amplitudi-, vaihe- ja tehospektrien avulla. Jaksollisen signaalin spektrien määrittämisessä kannattaa käyttää Fourier-sarjan kompleksista esitysmuotoa. T055303

65 Jaksollisen signaalin spektri on usein diskreetti.