2.2.2. Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä,

Esitys aiheesta: "2.2.2. Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä,"— Esityksen transkriptio:

1 2.2.2. Monotoniset jonot Jono (a n ) on kasvava, jos  n : a n+1  a n aidosti kasvava, jos  n : a n+1 > a n aidosti vähenevä, jos  n : a n+1 < a n vähenevä, jos  n : a n+1  a n Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

2 Monotonisuuden tutkiminen 1) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lauseketta a n+1 - a n. Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava. 2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta a n+1 : a n. Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava. 3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta derivaatan avulla. Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.

3 E.1. Osoita, että lukujono a n = on kasvava. a n+1 – a n > 0 ? joten a n+1 > a n. Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA1

4 TAPA2 a n+1 : a n > 1 ? Siis a n+1 > a n. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.

5 f(x) = f’(x) = Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1 Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli a n+1 > a n  n  Z + Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA3