Todennäköisyyslaskentaa

Esitys aiheesta: "Todennäköisyyslaskentaa"— Esityksen transkriptio:

1 Todennäköisyyslaskentaa
5.4 Normaalijakauma T055403

2 Yleistä normaalijakaumasta
Gauss havaitsi planeettojen ratojen mittausvirheitä tutkiessaan, että virheet noudattavat likimain tiettyä jakaumaa. Normaalijakauma on tärkein jatku-va jakauma. T055403

3 Jos tutkittavan ilmiön satunnais-muuttujalle on ominaista, että
- siitä saadaan suuri havainto- määrä - moni tekijä vaikuttaa siihen sa- manaikaisesti - mikään tekijä ei yksinään selitä vaihteluita, T055403

4 niin satunnaismuuttujan arvot jakautuvat likimain normaalisti.
Jakauma noudattaa likimain Gaus-sin käyrää eli ns. kellokäyrää. Monet käytännön elämän asiat noudattavat normaalijakaumaa. T055403

5 Seuraavat ovat normaalijakautu-neita:
- ihmisten henkiset ja fyysiset ominaisuudet - teollisuusprosesesseissa synty- vien tuotteiden ominaisuudet - mittausvirheet. T055403

6 Kun satunnaismuuttuja x noudattaa likimain normaalijakaumaa keskiar-vona  ja keskihajontana , niin merkitään x ~ N(, ). Tällöin sen tiheysfunktio on T055403

7 Normitettu normaalijakauma
Normitetussa normaalijakaumassa keskiarvo  = 0 ja keskihajonta  = 1. Normitetun normaalijakauman tiheysfunktio on T055403

8 Normitetun normaalijakauman kertymäfunktio on

9 Edellistä integraalia ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla.
Siksi normitetun normaalijakauman kertymäfunktion arvoja on taulukoi-tu. Nämä arvot saa myös laskimesta. T055403

10 Esimerkki 1. Olkoon x ~ N (0, 1). Määritä a) P ( x  0),
b) P ( x  1,54), c) P ( x  - 0, 2), d) P (x  1). T055403

11 Esimerkki 2. Olkoon x ~ N (0, 1). Määritä
a) P ( 0,55 < x < 2,22), b) P ( - 0,55 < x < 2,22). T055403

12 Yleinen normaalijakauma
Yleisen normaalijakauman tapauk-sessa, eli kun x ~ N(, ), on sa-tunnaismuuttujan arvot normitetta-va. Tällöin tehdään muuttujanvaih-to T055403

13 Esimerkki 3. Satunnaismuuttuja x noudattaa normaalijakaumaa keskiarvona 11 ja keskihajontana 1,3. Millä toden-näköisyydellä a) x < 10, b) 7 < x < 9? T055403

14 Esimerkki 4. Pakkauskone on tarkoitettu 0,4 – 0,6 kg painavien pussien pakkaami-seen. Pakattujen tuotteiden keski-hajonta on 0,018 kg. Kuinka suu-reksi pakkausten keskipaino on konetta säätämällä asetettava, T055403

15 jotta pakkauksen paino on 90 % todennäköisyydellä suurempi kuin 0,480 kg?

16 Normaalijakauman ominai-suuksia
Oletetaan, että satunnaismuuttuja x noudattaa normaalijakaumaa N(, ). Seuraavia ominaisuuksia voidaan käyttää hyväksi tilastollisessa päättelyssä. T055403

17 Satunnaismuuttujan arvoista - 68 % on välillä [ - ,  + ]
[ - 1,96,  + 1,96 ] - 99 % on välillä [ - 2,58,  + 2,58 ] T055403