Kymmenkantainen logaritmi

Esitys aiheesta: "Kymmenkantainen logaritmi"— Esityksen transkriptio:

1 4.1.1. Kymmenkantainen logaritmi
Olkoon a > 0, tällöin on olemassa yksikäsitteinen x siten, että a = 10x luku x on luvun a kymmenkantainen logaritmi Merkintä: x = lga tai x = log10a

2 Siis Eksponenttiyhtälön 10x = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi eli luvun a logaritmi on se eksponentti, johon luku 10 pitää korottaa, jotta potenssin arvoksi tulisi logaritmoitava a E.1. a) lg1000 = 3, koska 103 = 1000 b) lg6  0,78 koska 100,78  6 c) Minkä luvun logaritmi on 2 102 = 100

3 Huom logaritmoitavan on oltava positiivinen
Jokainen positiivinen luku a voidaan esittää luvun 10 potenssina a = 10lga lg10b = b E.2. Montako numero luvussa 21000 = (10lg2)1000 = 10lg21000 = 10301 302

4 4.1.2. Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona

5 k-kantainen logaritmifunktio
logka tarkoittaa sitä eksponenttia, mihin kantaluku k pitää korottaa, jotta saataisiin logaritmoitava a. Eli olkoon k > 0, k1 Positiivisen luvun a k-kantainen logaritmi logk a = b  a = kb E.3.Laske a ) log3 9 = 2, koska 32 = 9 I: 3x = 9 II: log332 = 2 3x = 32 x = 2 b) log2 8 = 3, koska 23 = 8 I: 2x = 8 log223 = 3 2x = 23 x = 3

6 (E.4. t. 180b) 102x = 0,35 2x = lg0,35 x  -0,228

7 4.1.3. Luonnollinen logaritmi

8 LUONNOLLINEN LOGARITMI
Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku eli Neperin järjestelmän kantaluku on e. Luonnollinen logaritmi logea = lna (a > 0): se eksponentti, johon kantaluku e on korotettava, jotta tulokseksi saadaan logaritmoitava a. Luonnollinen logaritmifunktio y = lnx ja eksponenttifunktio y=ex ovat toistensa käänteisfunktioita: lna = b  a = eb elna = a ( a > 0) lnea = a (a  R)

9 E.5. a) eln5 = b) lne2 = 5 2

10 E.6. Laskimella ln5 1,61 E.7. Mikä on funktion f(x) = ln (5 - x) määrittelyjoukko? 5 – x > 0 x < 5 E.8. (t. 181a) lnx = 1 x = e1 x = e

11 4.1.4. Logaritmifunktion ominaisuuksia

12 Luonnollisen logaritmifunktion f(x) = lnx ominaisuuksia
1) Mf = ]0,[ Af = R 2) Funktio f on jatkuva 3) Funktio f on aidosti kasvava 4) Käyrällä y = lnx on asymptoottina negatiivinen y-akseli ks. kirja s. 68 – logaritmifunktion ominaisuuksia