Todennäköisyyslaskentaa

Esitys aiheesta: "Todennäköisyyslaskentaa"— Esityksen transkriptio:

1 Todennäköisyyslaskentaa
1. Klassinen todennäköisyys T055403

2 1.1Yleistä Todennäköisyyttä ilmenee - sääennustuksissa
- teollisuusprosesseissa - tiedonsiirtojärjestelmissä - lähes kaikissa inhimillisissä toi- minnoissa. T055403

3 Tällaisia asioita voidaan tutkia ja ana-lysoida matemaattisesti.
Edellä luetelluille tilanteille on omi-naista, että usein ajatellaan ”sattuman” vaikuttavan asioiden kulkuun. Tällaisia asioita voidaan tutkia ja ana-lysoida matemaattisesti. T055403

4 Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede perehtyvät em
Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede perehtyvät em. kaltaisiin ilmiöihin. T055403

5 1.2 Klassinen todennäköisyys
Alkeistapaus = yksittäisen kokeen eri tulokset Otosavaruus = Kaikkien alkeistapaus-ten joukko Tapahtuma = Se alkeistapausten jouk-ko, josta ollaan kiinnostuneita. T055403

6 Tarkastellaan nopanheittotapahtumaa, kun noppaa heitetään kerran.
Esimerkki 1. Tarkastellaan nopanheittotapahtumaa, kun noppaa heitetään kerran. Otosavaruus E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Tapahtuma A = ”saadaan parillinen luku” T055403

7 N(A) = suotuisten alkeistapausten lkm.
Otetaan käyttöön muutamia merkin-töjä, jotta todennäköisyyden käsite voitaisiin määritellä: N(A) = suotuisten alkeistapausten lkm. N(E) = kaikkien alkeistapausten lkm. T055403

8 Todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu, on

9 Esimerkki 2. Heitetään noppaa kerran. Millä toden-näköisyydellä saadaan parillinen luku? Esimerkki 3. Kahta noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä pistelukujen sum-ma on 8? T055403

10 1.3 Tn-laskennan perussäännöt
Mahdoton tapahtuma on tapahtuma, jonka sattumisen todennäköisyys on 0. Varma tapahtuma on tapahtuma, jonka todennäköisyys on 1. Kaikkien tapahtumien todennäköisyy-det ovat välillä [0, 1]. T055403

11 Esimerkki 4. (varma tapahtuma)
Nopanheitossa saadaan yhdellä nopalla pisteluku 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Esimerkki 5. (mahdoton tapahtuma) Nopan pisteluku on 7. T055403

12 Todennäköisyyslaskennan tärkeimpiä käsitteitä on komplementtitapahtuma.
Se tarkoittaa tapahtuman A vastata-pahtumaa. Komplementtitapahtuman todennäköisyys on T055403

13 Komplementti-tapahtuma Tapahtuma A

14 Esimerkki 6. Noppaa heitetään kerran. Millä toden-näköisyydellä saadaan silmäluvuksi korkeintaan 4? Mikä on ko. tapahtu-man vastatapahtuma ja kuinka suuri on sen todennäköisyys? T055403