Lataa esitys
Esittely latautuu. Ole hyvä ja odota
JulkaistuKirsi-Kaisa Lahtinen Muutettu yli 9 vuotta sitten
1
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 1 Verkko-teoreettinen esitystapa Graph-Theoretic Representation s. 165-174 Heikki Henttu
2
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 2 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
3
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 3 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
4
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 4 Motivointi Todennäköisyyksien tehokas päivitettävyys välttämätöntä, jotta Bayes-verkot olisivat käyttökelpoisia Todennäköisyystaulukoiden koko kasvaa eksponentiaalisesti muuttujien lukumäärän kasvaessa Tarvitaan tehokas algoritmi, jolla laskentaa voidaan tehostaa
5
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 5 Ongelmanasettelu Pyritään laskemaan marginaalit (ПФ) ↓A i jokaiselle verkon solmulle A i. Ongelma ratkaistaan eliminoimalla verkosta vuoronperään pois kaikki muut solmut; vain A i jää jäljelle Mikä on tehokkain eliminointijärjestys?
6
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 6 Yleistä aiheesta Tarkastelussa reaalipotentiaalien joukko Ф={ø 1,…,ø m } muuttuja-avaruudessa U={A 1,…,A n }. Määrittelyalueverkko (domain graph) on suunnistamaton verkko, jonka solmuina ovat U ja jonka solmujen väliset linkit kuuluvat reaalipotentiaalien joukkoon Ф Ts. kyseessä on tapa esittää potentiaalien määrittelyjoukko Ф verkolla G. Esiteltäviä keinoja voidaan soveltaa kaikenlaisiin verkkoihin ja erilaisiin tehtäviin, ei pelkästään Bayes- verkkoihin
7
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 7 Selvitettävänä potentiaalien tulo projisoituna A i :lle, (ПФ) ↓A i. Laskentajärjestys X:n eliminoinnille Ф:stä: 1.Poistetaan kaikki potentiaalit Ф:sta, joiden kannassa X on jäljelle jää potentiaalijoukko Ф X 2.Lasketaan ø -X = ∑ X ПФ X 3.Lisätään ø -X Ф:n ja Ф:in ja kutsutaan lopputulosta Ф -X Suoritettava laskenta Laskentajärjestys jää ratkaistavaksi – missä järjestyksessä X i kannattaa eliminoida?
8
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 8 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
9
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 9 Tämän graafinen esitystapa on verkko G Selvitettävänä P(A 4 ) – mikä on edullisin A 4 :än päättyvä muuttujien eliminointijärjestys? (ПФ) ↓A 4 ? Haaste: Muuttujan X poisto verkosta edellyttää kaikkien niiden potentiaalien käsittelyä, joiden kannassa X esiintyy huolimattomasti valittu poistojärjestys aiheuttaa paljon turhaa työtä Esimerkki määrittelyalueverkosta A4A4 A1A1 A6A6 A2A2 A3A3 A5A5 Potentiaalien määrittelyalue Ф: Ф={ø 1 (A 1 ), ø 2 (A 2, A 1 ), ø 3 (A 3, A 1 ), ø 4 (A 4, A 2 ), ø 5 (A 5, A 2, A 3 ), ø 6 (A 6, A 3 )} G
10
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 10 Potentiaalijoukon Ф määrittelyalueverkkoPotentiaalijoukon Ф -A 3 määrittelyalueverkko A5A5 A2A2 Muuttujan poiston jälkeen kaikki A 3 :n naapurit ovat nyt ristikkäin kytketty ja naapurit ovat toistensa kannoissa Muuttujan eliminointi voi edellyttää uusien linkkien (fill-ins) luomista tätä halutaan välttää Tehtävää voidaan täsmentää: Tavoitteena on löytää eliminointijärjestys, joka ei luo uusia linkkejä. Esimerkki muuttujan eliminoinnista määrittelyalueverkosta A4A4 A1A1 A6A6 A2A2 A3A3 A5A5 A6A6 A4A4 A1A1 Muuttujan A 3 poisto Notaatio: A 3 poistettu potentiaalien määrittelyalueesta
11
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 11 Täydellinen eliminointijärjestys Määritelmä: täydellinen eliminointijärjestys on muuttujien poistojärjestys, joka ei vaadi uusien linkkien luomista. A4A4 A1A1 A6A6 A2A2 A3A3 A5A5 Esimerkkiverkolle on olemassa useita täydellisiä järjestyksiä, jotka päättyvät A 4 :än: A 5, A 6, A 3, A 1, A 2, A 4 A 1, A 5, A 6, A 3, A 2, A 4 A 6, A 1, A 3, A 5, A 2, A 4 Eivät edellytä uusien linkkien tekemistä
12
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 12 Väite 5.2 Olk. X 1,…, X k on täydellinen eliminointijärjestys, ja solmulla X j :llä on täydellinen (linkki kaikkiin solmuihin) naapurijoukko. Tällöin myös X j, X 1,…,X j-1,X j+1,…, X k on täydellinen eliminointijärjestys Tod. X j :n eliminointi ei edellytä täytelinkkien luomista. X 1 :lle ei tällöin synny uusia naapureita, eikä tarvetta uusille täytelinkeille ole. Mikäli X:llä on täydellinen naapurijoukko, X voidaan eliminoida heti aluksi tuhoamatta täydellistä eliminointijärjestystä.
13
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 13 Klikit (cliques) Klikki on täydellinen joukko (kaikki solmut kytketty), joka ei ole minkään toisen täydellisen joukon osajoukko Kaikki täydelliset eliminointijärjestykset tuottavat määrittelyalueverkosta saman klikkijoukon
14
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 14 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
15
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 15 Kolmioitu verkko Määritelmä: Kolmioitu verkko on suunnistamaton verkko, jolle on olemassa täydellinen eliminointijärjestys Ei tekemistä verkon muodon kanssa, vrt. esim. A C B D E A C B D E Täydellinen eliminointijärjestys E- muuttujaan: esim.: D, B, A, C, E - Ei täydellistä eliminointijärjestystä Kolmioitu verkkoEi-kolmioitu verkko
16
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 16 Merkintätavat Olk. X solmu suunnistamattomassa verkossa X:n naapureita merkitään N X X ja naapurit muodostaa perheen: F X Jos naapurijoukko on täydellinen (suora yhteys kaikkien naapurisolmujen välillä), solmua kutsutaan yksinkertaiseksi (simplicial). AB D X C NXFXNXFX Yksinkertaiset solmut: C, D ja B
17
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 17 Päätelmä 5.1 Kolmioidussa verkossa jokaiselle muuttujalle A löytyy täydellinen eliminointijärjestys, joka päättyy muuttujaan A.
18
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 18 1.Poistetaan yksinkertainen solmu X. Väite 5.4 (todistettu väitteen 5.2 yhteydessä) takaa, että myös jäljelle jäänyt verkko on kolmioitu 2.Toistetaan kohtaa 1 ja poistetaan kaikki muut solmut lauseen 5.1 nojalla kunnes vain A on jäljellä. Päätelmän 5.1 todistus 1.Väite 5.4: olk. G kolmioitu verkko ja X yksinkertainen solmu. Jos G’ on verkko, joka syntyy kun X eliminoidaan G:stä, G’ on kolmioitu verkko. 2.Lause 5.1: Kolmioitu verkko, jossa on vähintään kaksi solmua, sisältää vähintään kaksi yksinkertainen solmua
19
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 19 Päätelmän 5.1 merkitys Jos täydellinen eliminointijärjestys on olemassa, mille tahansa muulle muuttujalle voidaan myös löytää vastaava Mahdollista saada optimaalinen marginalisointijärjestys kaikkien P(A) laskemiseksi tehostaa huomattavasti todennäköisyyksien laskentaa. Käytännön tutustuminen aiheeseen kappaleessa 5.4
20
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 20 Lause 5.2 Suunnistamaton verkko on kolmioitu, jos ja vain jos kaikki solmut voidaan poistaa eliminoimalla peräkkäin yksinkertainen solmu X. Lauseen avulla voidaan tarkastaa onko verkko kolmioitu vai ei.
21
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 21 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
22
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 22 Leikkauspuut Määritelmä: Olk. G joukko klikkejä, jotka voidaan järjestää puuksi T. T on leikkauspuu, jos mille tahansa V, W on koko välillä V, W yhteinen leikkauskohta V ∩ W. BCDE ABCDDEFI BCDG CHGJ BCDE ABCDDEFI BCDG CHGJ Leikkauspuu Kaikille W ja V i löytyy leikkauskohta (solmu tai solmujoukko), joka säilyy koko välin Ei-leikkauspuu Puun solmuilla V ja W ei ole yhteistä leikkauskohtaa, joka säilyisi koko välin V, W kyseessä ei ole leikkauspuu V W W V1V1 V2V2 V3V3 V4V4
23
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 23 Ehdot klikeistä ja leikkauspuista 1.Jos suunnistamattoman verkon G klikit pystytään järjestämään leikkauspuuksi, G on kolmioitu. 2.Jos verkko G on kolmioitu, verkon klikeistä voidaan muodostaa leikkauspuu.
24
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 24 Leikkauspuun muodostaminen kolmioidusta verkosta 1.Aloitetaan yksinkertaisesta solmusta X F X on klikki. 2.Eliminoidaan F X :n solmut, joilla on naapureita vain F X :ssä. 3.Indeksoidaan F X eliminoitujen solmujen määrän mukaan ja nimetään jäljelle jääneiden solmujen joukko S i :ksi S i on erottaja 4.Valitaan seuraava klikki verkossa ja toistetaan toimenpiteet (siten, että indeksiarvosta i säilyy) 5.Toistetaan rutiinia kunnes kaikki klikit on eliminoitu 6.Yhdistetään klikit V i näitä vastaaviin erottajiin S i 7.Muodostetaan leikkauspuu luomalla linkit erottajien S i ja V j välille siten, että j > i ja S i V j ∩
25
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 25 Leikkauspuun muodostaminen kolmioidusta verkosta – esimerkki (1/2) AB C HG D E F I J Suoritetaan kohdat 1-6 ABCD V 1 BCD S 1 CGHJ V 5 CG S 5 DEFI V 3 DE S 3 BCDG V 6 BCD S 6 BCDE V 10 Käytetty eliminointijärjestys: A, F, I, H, J, G, B, C, D, E Yksi muuttuja (A) eliminoitu i saa arvo 1 2 muuttujaa (F, I) eliminoitu i saa arvo 3 (1+2)
26
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 26 Leikkauspuun muodostaminen kolmioidusta verkosta – esimerkki (2/2) ABCD V 1 BCD S 1 CGHJ V 5 CG S 5 DEFI V 3 DE S 3 BCDG V 6 BCD S 6 BCDE V 10 7. Muodostetaan leikkauspuu luomalla linkit erottajien S i ja V j välille siten, että j > i ja S i V j ∩ Suoritetaan kohta 7
27
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 27 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
28
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 28 Yhteenveto Oikea muuttujien eliminointijärjestys on tärkeää tuntea, jotta Bayes-verkkojen laskenta olisi tehokasta Leikkauspuu tarjoaa välineen täydellisten eliminointijärjestysten hahmottamiseen: kaikki täydelliset eliminointijärjestykset voidaan saada poistamalla yksinkertaisia solmuja leikkauspuusta
29
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 29 Sisältö 1.Alustus 2.Määrittelyalueverkot (Domain Graphs) 3.Kolmioidut verkot (Triangulated Graphs) 4.Leikkauspuut (Join Trees) 5.Yhteenveto 6.Kotitehtävä
30
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 30 Kotitehtävä (1/2) Avaruuden {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 } potentiaalit ovat ø 1 (A 1, A 2, A 3 ), ø 2 (A 2, A 3, A 5 ), ø 3 (A 1, A 3, A 4 ), ø 4 (A 5, A 6 ). a)Määritä verkko potentiaalien määrittelyalueelle b)Muodosta täydellinen eliminointijärjestys, joka päättyy A 1 :en.
31
S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 19 - Heikki Henttu Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 31 Kotitehtävä (2/2) c)Onko verkko kolmioitu d)Mitkä ovat verkon yksinkertaiset (simplicial) solmut B C G D E F I
Samankaltaiset esitykset
© 2024 SlidePlayer.fi Inc.
All rights reserved.