Esittely latautuu. Ole hyvä ja odota

Esittely latautuu. Ole hyvä ja odota

Raja-arvon määritelmä

Samankaltaiset esitykset


Esitys aiheesta: "Raja-arvon määritelmä"— Esityksen transkriptio:

1 2.5.1. Raja-arvon määritelmä
2.5. Lukujonon raja-arvo Raja-arvon määritelmä Jono (an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit an saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi. Merkintä: TAI lim an = a TAI an ® a, kun n ® ¥ Lukujono hajaantuu, jos sillä ei ole raja-arvoa Jos raja-arvo olemassa, niin se on yksikäsitteinen eli lukujonolla voi olla vain yksi raja-arvo.

2 E.1. Lukujonon raja-arvo on ½.
Miten suuri on luvun n oltava, jotta termien arvot poikkeaisivat raja-arvosta vähemmän kuin 0,001? V: n:n arvosta 124 allkaen jonon termit poikkeavat raja-arvosta vähemmän kuin 0,001 0,008n + 0,01 > 1 0,008 n > 0,99 n > 123,75

3 Raja-arvoja ks. esimerkki 1 s

4 Laskusääntöjä lim an = a ja lim bn = b 1. lim (can) = ca 2. lim (an + bn) = a + b 3. lim (an - bn) = a - b 4. lim (an · bn) = a · b 5. lim (an / bn) = a / b , lim bn = b ¹ 0

5 Raja-arvot lasketaan, kuten vastaavien funktioiden raja-arvot.
1) ”polynomi : polynomi” Supista, nimittäjän korkeimmalla n:n potenssilla. Tällöin äärettömyyteen menevät termit ovat nimittäjässä ja näiden termien raja-arvo on nolla. 2) ”juuri – juuri” Lavenna lausekkeella ”juuri + juuri”, pääset tilanteeseen ääretön : ääretön. Supista sitten nimittäjän korkeimmalla potenssilla. HUOM:

6 E.2. Laske lukujonojen raja-arvot

7

8 E.3. Laske lukujonon raja-arvo

9 2.5.3. Monotonisen jonon suppeneminen
Jos jono on alhaalta rajoitettu ja jono on vähenevä niin jono suppenee. Jos jono on ylhäältä rajoitettu ja jono on kasvava, niin jono suppenee. E.4. Osoita, että lukujono suppenee. > 0 => an+1 > an x. Lukujono an on aidosti kasvava

10 Koska lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin se suppenee.
Lukujono ylhäältä rajoitettu Koska lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin se suppenee.

11 2.5.4. Geometrisen jonon suppeneminen
Geometrinen jono an = aqn-1 (a ≠ 0) suppenee, jos -1 < q  1 Jos -1 < q < 1 niin lim aqn-1 = 0 Jos q = 1 jono on vakiojono a, a, a, … ja lim an = a Muulloin jono hajaantuu.

12 E.5. Suppeneeko jono a) 1, 2, 4, 8, … b) 8, 4, 2, 1, … c) 2, -6, 18, -54, …
d) 1, -1, 1, -1, … a) q = 2 : 1 = 2, ei suppene b) q = 4 : 8 = ½, suppenee c) q = -6 : 2 = -3, ei suppene d) q = -1, ei suppene

13 E.6. Millä x:n arvoilla geometrinen jono a) 1, (x - 1), (x - 1)2, … b) 2, (3x - 4), …
suppenee? Geometrinen jono suppenee, kun -1 < q  1 a) b)

14 Jono heilahtelee rajoitetusti
esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy lukua a ja joka toinen lukua b, missä a ¹ b Jono heilahtelee rajatta esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy + ¥ ja joka toinen lähestyy - ¥ (tai jotain äärellistä lukua a)


Lataa ppt "Raja-arvon määritelmä"

Samankaltaiset esitykset


Iklan oleh Google