Esittely latautuu. Ole hyvä ja odota

Esittely latautuu. Ole hyvä ja odota

Mereologia ja sen soveltaminen

Samankaltaiset esitykset


Esitys aiheesta: "Mereologia ja sen soveltaminen"— Esityksen transkriptio:

1 Mereologia ja sen soveltaminen
Markku Keinänen Turun yliopisto Luennot 1-3 9.1 – (A9, T1) 1

2 Luentojen kulku 9.1 Johdanto: mereologian perusteita
23.1 Yksinkertaiset ja kompleksiset entiteetit 30.1 Komposition ongelma Mereologinen ekstensionaalisuus 13.2 Temporaalista mereologiaa Loppukuulustelu 20.2, 27.2 Laskuharjoitukset 23.1 ja 30.1: 18-20 2

3 Oheislukemistoa Peter Simons (1987): Parts – A Study in Ontology, Oxford, Oxford University Press. 3

4 Oheislukemistoa Varzi, Achille C. (2011): ”Mereology”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = < ology/>. 4

5 Mereologia Mereologia on formaali teoria osa-kokonaisuus-relaatioista ja niihin liittyvistä determinaatioista (kuten mereologinen leikkaaminen). Tyypillisesti jotkin entiteetit ovat kompleksisia (ts. niillä on aitoja osia) tai yksinkertaisia (niillä ei ole aitoja osia). Jos jonkin kategorian entiteetit (esimerkiksi konkreettiset objektit) ovat kompleksisia tai kompleksisten entiteettien osia, ne ovat mereologisissa relaatioissa toisten entiteettien kanssa. Mereologisen nihilismin mukaan jokainen entiteetti on yksinkertainen (ts. mereologinen atomi). Jos mereologinen nihilismi on totta, mereologiallakaan ei ole käyttöä (ks.jatko). 5

6 Mereologia Tulemme jatkossa omaksumaan pluralistisen näkemyksen mereologiasta: jokainen mereologian systeemi, jossa pätevät tietyt osa-kokonaisuus-relaatiota eksplikoivat perusperiaatteet, on mereologia. Nämä periaatteet tuo esiin minimaalinen mereologia (MM) (ks. jatko). Ekstensionaalisessa mereologian systeemissä pätee: kaikki kompleksiset entiteetit, joilla on samat aidot osat, ovat identtisiä. Joitain (joihinkin kategorioihin kuuluvia) entiteettejä voidaan luonnehtia vahvempien mereologisten periaatteiden (kuten ekstensionaalisuus) avulla. 6

7 Mereologia Klassisessa ekstensionaalisessa mereologiassa (CEM) (Lesniewśki 1916; Leonard & Goodman 1940) oletetaan ekstensionaalisuuden lisäksi mm. mielivaltaisten mereologisten summien olemassaolo. Toisin kuin jotkin metafyysikot (Armstrong 1997; Lewis 1986), emme tule rajoittamaan puhetta ”mereologiasta” CEM:aan. Teesi: kaikki kompositio on mereologista (jonkin mereologian periaatteet täyttävää komposiota. Ei ole ei- mereologista kompositiota. 7

8 Mereologian käyttö Mereologia keskeinen metafysiikan apuväline, koska sen avulla voidaan tutkia entiteettien välisiä formaaleja relaatioita (kuten mereologiset relaatiot, ontologiset riippuvuudet). Jos kaikki entiteetit eivät ole yksinkertaisia, entiteetit ovat jossain mereologisissa relaatioissa toisiinsa. On kuitenkin mereologian formaalista teoriasta riippumaton kysymys, mitkä entiteetit ovat yksinkertaisia tai mitkä entiteetit ovat kompleksisia. 8

9 Kurssin tavoitteet Annetaan lyhyt yleiskatsaus mereologiasta, mereologian käsitteistä ja niitä koskevista perusperiaatteista. Tuodaan esiin viimeaikaisia vastauksia kysymykseen siitä, mitkä entiteetit ovat yksinkertaisia ja millä perusteilla entiteettien voi väittää muodostavan kompleksisia entiteettejä. Pyritään selvittämään, kuinka laajalti minimaalista mereologiaa (MM) vahvemmat mereologiset periaatteet (kuten ekstensionaalisuus) soveltuvat entiteetteihin. 9

10 Mereologian historiasta
Platon, Aristoteles, Boëthius Tuomas Akvinolainen, Abelard, Burley Leibniz Kant Husserl (Logische Untersuchungen) Lesniewśki (1916), Leonard & Goodman (1940): ensimmäiset mereologian formaalit systeemit. 10

11 Mereologian käsitteitä
Entiteetti x on entiteetin y aito osa merkitään”«”. x « y (esimerkiksi: elektroni on atomin, pää on ihmisen, Häme on Suomen aito osa). Entiteetti x on entiteetin y osa merkitään”<”. x < y ↔ ((x « y) ν (x = y)) (aitojen osien lisäksi entiteetin osa on entiteetti itse) 11

12 Mereologian käsitteitä
Entiteetti x leikkaa (overlap) entiteettiä y merkitään”○”. x ○ y ↔ (z((z < x) Λ (z < y))) (entiteetit leikkaavat mereologisesti toisiaan, joss niillä on yhteisiä osia; jokainen entiteetti leikkaa itseään) Entiteetit x ja y ovat mereologisesti irrallisia (disjoint) merkitään ”Disj(x, y)” Disj (x ,y ) ↔ ¬ (x ○ y) (entiteetit ovat mereologisesti irrallisia (”täysin erillisiä”), joss niillä ei ole yhteisiä osia) 12

13 Mereologian käsitteitä
Mereologinen summa (binary sum) merkitään ”+”, huomaa ”ﺎz” määräisen kuvauksen symboli eli se tietty (uniikki) z, joka…) x + y ↔ ﺎ z w((z ○ w) ↔ ((x ○ w) ν (y ○ w))) (x:n ja y:n mereologinen summa on se tietty yksilö, joka leikkaa täsmälleen niitä yksilöitä, jotka leikkaavat joko x:ää tai y:tä) Esimerkiksi luuta on varren ja harjan mereologinen summa. 13

14 Mereologian käsitteitä
Mereologinen tulo (binary product) merkitään ”∙” x ∙ y ↔ ﺎz w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y))) (x:n ja y:n mereologinen tulo on se yksilö, jonka osia ovat täsmälleen x:n ja y:n yhteiset osat). Summien ja tulojen olemassaolo oletetaan erillisillä aksiomeilla (ks. jatko). Ainoastaan vahvimmissa (ekstensionaalisen) mereologian systeemeissä (kuten CEM) voidaan osoittaa, että jokaisella kahdella entiteetillä on mereologinen summa ja että jokaisella toisiaan leikkaavalla entiteetillä on tulo. 14

15 Mereologian käsitteitä
Atomi (atom): x on atomi merkitään ”Ax” Ax ↔ (¬ y (y « x)) Universumi (universe): x on universumi merkitään ”Ux” Ux ↔ (y(y < x)) Myös atomien ja universumin olemassaolo on erikseen oletettava. Universumin olemassaolo voidaan osoittaa CEM:ssa, kun taas atomien olemassaolo on erikseen oletettava. 15

16 Perusmereologia Oletetaan jokin standardi ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan (mukaan lukien identiteetti) formalisointi. Jos x on y:n aito osa, seuraavat kolme ehtoa näyttävät pitävän paikkansa: PA1. x « y → ¬ (y « x) (asymmetrisyys) PA2. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) (transitiivisuus) P3. ¬(x « x) (irrefleksiivisyys) PA1 ja PA2 voidaan ottaa perusmereologian (ground mereology) aksiomeiksi, kun taas P3 seuraa niistä (HT1). 16

17 Perusmereologia ”Olla osa”-relaatio toteuttaa seuraavat ehdot – ts. se on osittainen järjestys: 4. (x < x) (refleksiivisyys) 5. ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus) 6. ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys) Todistus (HT2). 17

18 Perusmereologian motivointia
Periaatteet 1-6 ovat hyvin perusteltuja, ne näyttävät järkevällä tavalla eksplikoivan kyseisiä mereologisia käsitteitä. Tarkastellaan lähemmin intuitiivisempaa ”olla aito osa” relaatiota. PA1 on melko selvä (entiteetti ei voi olla aidon osansa aito osa). PA1 ja PA2 sulkevat pois kehämäisyyden (”loopit”) osa-kokonaisuus-ketjuissa. Myös 3 on selvä (mikään ei voi olla itsensä aito osa). 18

19 Perusmereologian motivointia
Vaikka PA2 on intuitiivinen, se kiistetään joskus. Perusteena on, että useat ”olla aito osa” käytöt viittaavat ei-transitiiviseen osa-kokonaisuus-relaatioon (Rescher 1955; Moltmann 1997; Johansson 2004; Seibt). Vastaus kritiikkiin: PA2 eksplikoi yleistä formaalia relaatiota aitojen osien ja kokonaisuuksien välillä, kun taas ei-transitiiviset osa-kokonaisuus-relaatiot ovat jollain lailla kvalifioituja osa-kokonaisuus-relaatioita (esim. olla toiminnallinen osa). Tällaisia käyttöjä on myös formaalissa ontologiassa – esimerkiksi x on y:n substanssiosa (Lowe 1998). 19

20 Perusmereologian motivointia
Lisäksi voidaan määritellä intransitiivinen relaatio x on y:n välitön osa: 8. Vo(x, y) ↔ ((x « y) Λ ¬(z((x « z) Λ (z « y)))) 20

21 Perusmereologian laajentaminen
Valtaosa metafyysikoista ajattelee, että periaatteiden PA1-P3 luonnehtima (strikti) osittainen järjestys ei riitä määrittelemään x on y:n aito osa-relaatiota. Näiden periaatteiden lisäksi on tavallista tuoda dekompositioperiaatteita, joiden avulla voidaan päätellä kokonaisuuksien olemassaolosta tietyt ehdot täyttävien osien olemassaoloon, ja toisaalta kompositioperiaatteita, joiden avulla päätellään tietyt ehdot täyttävien osien olemassaolosta tiettyjen niiden muodostamien kokonaisuuksien olemassaoloon. Aloitamme dekompositioperiaatteista, joista tärkeimmät ovat heikko ja vahva täydennysperiaate (weak/strong supplementation principle). 21

22 Heikko täydennysperiaate
Perusmereologiassa ei voi päätellä, että jokaisella entiteetillä, jolla on aitoja osia, olisi useita eri aitoja osia. Periaate 9 (weak company) sisältää tämän vaatimuksen, mutta se ei kerro mitään aitojen osien välisistä mereologisista relaatioista: 9. x « y → (z)((z « y) Λ ¬ (z = x)) Periaatteen 10 (strong company) mukaan entiteetillä, jolla on aitoja osia, on oltava vähintään kaksi aitoa osaa, jotka eivät ole toistensa osia: 10. x « y → (z)((z « y) Λ ¬ (z < x)) 10 ei kuitenkaan takaa näiden aitojen osien mereologista irrallisuutta (disjointness) toisiinsa nähden. 22

23 Heikko täydennysperiaate
Heikon täydennysperiaatteen (weak supplementation principle) mukaan entiteetillä, jolla on aito osa, on tästä osasta mereologisesti irrallinen (disjoint) aito osa: PA11. x « y → (z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x)) Toisin sanoen: jos entiteetillä on aitoja osia, sillä on oltava vähintään kaksi toisistaan mereologisesti irrallista (täysin erillistä) aitoa osaa. Aksiomit PA1-PA2 ja PA11 riittävät määrittämään minimaalisen mereologian (MM). 23

24 Heikko täydennysperiaate
Simonsin (1987) mukaan minimaalinen mereologia on minimaalinen osa-kokonaisuus-relaatiota järkevästi eksplikoiva mereologian systeemi. Toisin sanoen jokaisen osista ja kokonaisuuksista puhuvan ontologisen systeemin olisi toteuttava minimaalisen mereologian periaatteet. Vaikka PA11 tavallisesti oletetaan, on esitetty käsityksiä aidoista osista, jotka toteuttavat ainoastaan perusmereologian aksiomit, eivät PA11:ta tai P10:tä tai P9:ää: esimerkiksi Kit Finen (1982) qua-objektit ja Brentanon aksidenssit suhteessa substansseihin. Vaikka tulemme jatkossa olettamaan heikon täydennysperiaatteen, sen soveltuminen kaiken tyyppisiin entiteetteihin ei ole aivan kiistatonta. 24

25 Ekstensionaalisuus Minimaalinen mereologia sallii, että kaksi eri kompleksista entiteettiä rakentuu täsmälleen samoista aidoista osista. Monet ontologit kuitenkin tuovat entiteettejä, jotka toteuttavat ekstensionaalisuuden, toisin sanoen että täsmälleen samoista osista rakentuvat entiteetit ovat keskenään identtisiä. 25

26 Ekstensionaalisuus Ekstensionaalisuus voidaan ilmaista seuraavan aidot osat-periaatteen (proper parts principle [PPP]) avulla: P13. (z)(z « x) → ((z)((z « x) → (z « y)) → (x < y)) Jos myös kaikki y:n osat x:n osia, PPP:n nojalla pätee myös, että (y < x). Näin P13:sta voidaan helposti päätellä: P14. (z)((z « x) ν (z « y)) → ((z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y)) Kompleksiset entiteetit x ja y ovat identtisiä, joss jokainen x:n aito osa z on y:n aito osa (ja kääntäen). 26

27 PPP:n sallimat tapaukset
P13 (tai P14) eivät kuitenkaan sulje eräitä tapauksia, joissa x ja y rakentuvat samoista yksinkertaisista osista, mutta eivät ole identtisiä, koska niillä on eri aidot osat. Esimerkki (vrt. Varzi 2008): oletetaan, että c1, c2 ja c3 ovat a1:n ja a2:n yksinkertaisia osia, mutta b1 ainoastaan a1:n osa ja b2 ainoastaan a2:n osa. Lisäksi c1 ja c2 ovat b1:n ja toisaalta c2 ja c3 b2:n aitoja osia. 27

28 Vahva täydennysperiaate
Ekstensionaalisuuden ilmaisemiseen käytetään P13:ta vahvempaa vahvaa täydennysperiaatetta (Strong Supplementation Principle): PA15. ¬(x < y) → (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y)) Toisin sanoen: jos x ei ole y:n osa, x:llä on oltava jokin y:stä mereologisesti irrallinen osa eli x:n tai joidenkin sen osien (ja osien osien jne.) on oltava y:hyn nähden täysin erillisiä. Vahva täydennysperiaate sulkee pois monet ekstensionaalisuuden kannalta anomaliset tapaukset (kuten esimerkki yllä ts. samoista yksinkertaisista osista rakentuvat keskenään ei-identtiset entiteetit). 28

29 Vahva täydennysperiaate
On helppo osoittaa, että myös heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia. Todistus: (HT3). Vahva täydennysperiaate ei seuraa P13:sta [PPP] (tai P14:sta) (esimerkki edellä). Sen sijaan P13 seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta. Todistus: (HT4). Varzin (2011) ekstensionaalinen mereologia [EM] saadaan olettamalla PA1-PA2 ja PA15. 29

30 Ekstensionaalinen mereologia
Minimaalista mereologiaa pidetään laajalti kiistattomana: erityyppisten kompleksisten entiteettien ajatellaan toteuttavan heikon täydennysperiaatteen. Sen sijaan monet metafyysikot kiistävät sekä vahvan täydennysperiaatteen että PPP:n (P13) yleisen pätevyyden. Esimerkiksi Simons (1987) ajattelee, että tiettyjen kategorioiden entiteetit (kuten tapahtumat, prossessit, pluraliteetit ja massat) toteuttavat ekstensionaalisen mereologian, kun taas endurantit yksilöoliot eivät.

31 Ekstensionaalinen mereologia
Oletetaan, että x ja y ovat kompleksisia entiteettejä ts. että niillä on aitoja osia. Tällöin keskustelussa käytetty yksinkertaisin tapa ilmaista ekstensionaalisuus on seuraava: 16. (z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y) Toisinsanoen: aitojen osien samuus on identtisyyden välttämätön ja riittävä ehto. Jotkin ekstensionaalisuuden kriitikot (kuten Wiggins 2001) ovat kiistäneet ehdon välttämättömyyden: 17. (x = y)→ (z)((z « x) ↔ (z « y))

32 Ekstensionaalinen mereologia
Esimerkiksi endurantti objekti voi vaihtaa osiaan (se ei ole mereologisesti konstantti), jolloin samalla objektilla voi olla eri aidot osat eri ajanhetkinä ja 17 ei päde. Tämä argumentti kuitenkin epäonnistuu (vrt. Varzi 2011). Lause 17 on looginen totuus. Jos endurantti objekti x voi vaihtaa osiaan, osa-kokonaisuusrelaatio on luonteva ilmaista aikaan relativoidussa muodossa: ”x «t y” = x on y:n aito osa hetkellä t. Tällöin lauseen 17 aikaan relativoitu muotoilu edelleen pätee: 18. (x = y) → (z)((z «t x) ↔ (z «t y))

33 Ekstensionaalinen mereologia
Sen sijaan voidaan kysyä, onko aitojen osien samuus riittävä ehto kompleksisten entiteettien identtisyydelle eli pitääkö 19 paikkansa: 19. (z)((z « x) ↔ (z « y)) → (x = y) Tavallisin vastaesimerkki väitteelle 19 ovat eri lajeihin/kategorioihin kuuluvat entiteetit, joilla on täsmälleen samat osat jollain tai joillain ajanhetkillä: marmoripatsas ja toisaalta marmoripala, josta se on tehty; kissa ja toisaalta eläinkudos, josta kissa rakentuu (jollain ajanhetkellä).

34 Ekstensionaalinen mereologia
Tällöin 19 ei päde, koska kahdella entiteetillä a ja b (esimerkiksi kissa ja toisaalta sen kissakudos, josta kissa koostuu) voi olla täsmälleen samat aidot osat, mutta esimerkiksi eri temporaaliset identiteettiehdot. Siis a:lla ja b:llä on eri ”modaaliset ominaisuudet” ja niiden on oltava eri entiteettejä. Nämä vastaesimerkit ovat kiistanalaisia (vrt. Varzi 2008, 2011) ja palaamme myöhemmin kysymykseen, kuinka uskottavia ne ovat.

35 Atomit Mereologiset atomit ovat entiteettejä, joilla ei ole aitoja osia: Ax ↔ (¬ y (y « x)) On MM:n, EM:n ja CEM:n kanssa yhteensopivaa kiistää atomien olemassaolo (PA20) tai olettaa, että kaikki entiteetit rakentuvat atomeista (PA21): PA20. xy (y « x) PA21. xy (Ay Λ (y < x)) Mereologia on atomistinen (atomistic), jos PA21 oletetaan ja atomiton (atomless), jos PA20 oletetaan.

36 Atomit Kaikki mereologioiden ts. MM, EM tai CEM äärelliset mallit toteuttavat PA21:n, kun taas atomistisilla mereologioilla voi olla sekä äärellisiä että äärettömiä malleja. Atomistisen ekstensionaalisen mereologian vahva täydennysperiaate ja PA21 voidaan ilmaista yhtenä periaatteena. 22. ¬(x < y) → (z)(Az Λ (z < x) Λ ¬ (z < y)) - ts. jos x ei ole y:n osa, x:llä on osana sellainen atomi z, joka ei ole y:n osa. Tästä seuraa (olettaen, että x ja y ovat kompleksisia): 23. (z)((Az → (z « x)) ↔ (z « y)) ↔ (x = y) - ts. samoista atomeista rakentuvat kompleksiset entiteetit ovat keskenään identtisiä.

37 Atomit Vaihtoehtoisten aksiomien PA20 ja PA21 ilmaisemat periaatteet voidaan rajoittaa koskemaan vain tietyntyyppisiä entiteettejä. Esimerkiksi jos ”Px” = x on aika-avaruusintervalli: P24. x(Px → y (Ay Λ (y < x))) P25. x(Px → y (y « x) Oletetaan, että aika-avaruusintervallien aitoja osia ovat ainoastaan toiset aika-avaruusintervallit. Periaate 24 ilmaisee, että aika-avaruusintervallit rakentuvat minimaalisista intervalleista, kun taas periaate 25 ilmaisee, että ne jokainen intervalli on jaollinen osaintervalleihin.

38 Kompositioperiaatteet: mereologiset summat ja tulot
Kompositioperiaatteiden avulla päätellään tietyt ehdot täyttävien osien olemassaolosta osien muodostamien kompleksisten entiteettien olemassaoloon. Kompositioperiaatteet ovat kiistanalaisempia kuin dekompositioperiaatteet, ja on vaikea esittää hyvin perusteltuja ehtoja, jotka täyttävät entiteetit muodostavat esimerkiksi mereologisen summan tai jotka täyttävistä entiteeteistä voidaan muodostaa mereologinen tulo. Jos oletetaan rajoittamaton kompositio (unrestricted composition) kuten CEM:ssa entiteettejä voidaan rajoittamattomasti muodostaa tietyt loogiset tai merologiset ehdot täyttävistä entiteeteistä monien eri mereologisten operaatioiden (summa, tulo, jne.) avulla.

39 Ylärajat Ilmaisuvoimaltaan melko heikon kompositioperiaatteen nojalla jokaisella kahdella tietyssä relaatiossa P olevalla entiteetillä x ja y on yläraja (upper bound) z ts. entiteetti, jonka osia sekä x ja y ovat: P26. Pxy → (z((x < z) Λ (y < z))) P26:n vahvuus riippuu siitä, mitä valitsemme relaatioksi Pxy. Voidaan esimerkiksi vaatia, että mereologisesti leikkaavilla entiteeillä on yläraja – ts. Pxy = x ○ y. Ylärajan olemassaolosta ei seuraa entiteettien mereologisen summan olemassaoloa. Jos universumi on olemassa, se on kahden mielivaltaisen entiteetin yläraja.

40 Summat Intuitiivisesti kahden entiteetin x ja y mereologinen summa x + y on niiden minimaalinen yläraja ts. entiteetti, joka on rakentunut täsmälleen näistä entiteeteistä (tai niiden osista). Tarkastelemme lyhyesti kahta tapaa eksplikoida tätä intuitiota. Summat tuodaan erillisen aksiomin avulla. Ensimmäinen vaihtoehto (vrt. Lewis 1991) on olettaa, että jokaisella kahdella entiteetillä x ja y, jotka ovat P-relaatiossa keskenään, on summa eli niillä on yläraja z, jonka kaikki osat leikkaavat joko x:ää tai y:tä. PA27. Pxy → z((x < z)Λ(y < z)Λ w((w < z) →((x ○ w) ν (y ○ w))))

41 Summat PA27 edellyttää, että x ja y ovat niiden mereologisen summan osia. Tätä vaatimusta saatetaan pitää liian vahvana, jos ekstensionaalisuus ei päde. Riittää olettaa, että x:llä ja y:llä on mereologinen summa, jos on olemassa entiteetti, joka rakentuu täsmälleen x:stä ja y:stä tai niiden osista: PA28. Pxy → zw((z ○ w) ↔ ((x ○ w) ν (y ○ w))) PA28:n mukaan P-relaatiossa olevilla entiteeteillä x ja y on mereologinen summa eli on olemassa entiteetti z, joka leikkaa täsmälleen niitä entiteettejä, jotka leikkaavat joko entiteettiä x tai entiteettiä y.

42 Summat Jos oletamme vahvan täydennysperiaatteen, PA27 ja PA28 ovat ekvivalentteja. Oletetaan, että a1:n välittömät osat ovat C1, C2 ja C3 ja että a2:lla on samat välittömät osat. Lisäksi b1 = c1 + c2 ja b2 = c2 + c3. PA28:n (muttei PA27:n) mukaan a1 = b1 + b2 ja a2 = b1 + b2, vaikka ¬(a1 < a2). Vahva täydennysperiaate takaa summan (b1 + b2) yksikäsitteisyy- den ja sulkee tämän mallin pois.

43 Summat Mereologisten summien yhteydessä on luontevinta puhua yksikäsitteisistä summista. Niiden olemassaolo taataan, jos PA28:n lisäksi oletetaan vahva täydennysperiaate. Tällöin voidaan myös määritellä: 29. x + y ↔ ﺎ z w((z ○ w) ↔ ((x ○ w) ν (y ○ w))) x:n ja y:n mereologinen summa on se tietty yksilö z, joka leikkaa täsmälleen niitä yksilöitä, jotka leikkaavat joko x:ää tai y:tä. Yksikäsitteisille summille voidaan määritellä seuraavat laskulait: x + x = x, x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z.

44 Tulot Myöskään mereologisten tulojen olemassaoloa ei voi todistaa ekstensionaalisessa mereologiassa EM, vaan ne pitää olettaa erillisen aksiomin avulla: PA30. (x ○ y) → z w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y))) Toisin sanoen: jokaisella toisiaan leikkaavalla entiteetillä on maksimaalinen leikkaus eli on olemassa yksilö, jonka osia ovat täsmälleen x:n ja y:n yhteiset osat.

45 Tulot x ∙ y ↔ ﺎz w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y)))
Jos PA30 lisätään aksiomiksi minimaaliseen mereologiaan [MM], vahva täydennysperiaate voidaan todistaa heikon täydennysperiaatteen ja aksiomien PA1 ja PA2 avulla (HT 6). Näin ollen lisäämällä PA30 minimaaliseen mereologiaan saadaan vahvempi aksiomatisointi kuin [EM] (merkitään [EM+]), jossa voidaan (tietyt ehdot täyttävien entiteettien) yksikäsitteisten summien lisäksi todistaa yksikäsitteisten mereologisten tulojen olemassaolo: x ∙ y ↔ ﺎz w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y))) x:n ja y:n mereologinen tulo on se tietty yksilö, jonka osia ovat täsmälleen x:n ja y:n yhteiset osat.

46 Tulot Vaikka PA28:aa ei voi todistaa PA30:n avulla, PA30 menee pitemmälle kuin PA28, koska sen olettamisesta seuraa ekstensionaalisuus. PA30 on myös aksiomina kyseenalaisempi kuin PA28:n tavalliset muodot (ts. jossa P-relaatio on ”○” tai jokin luonnollinen relaatio), koska PA30:sta (sovellettuna avaruudellisesti ulottuvaisiin entiteetteihin) näyttää seuraavan monien sellaisten entiteettien olemassaolo, joilla on useaan eri paikkaan lokasoituneita osia (HT 7).

47 Vaihtoehtoiset systeemit
Järkeviä vaihtoehtoisia systeemejä näyttävät siis olevan MM, MM + PA28, EM, EM + PA28, EM + PA28 + PA30. EM + (eli EM + PA30) ei näytä hyvin motivoidulta vaihtoehdolta, koska siinä oletetaan tietynlainen rajoittamaton kompositio (ts. että toisensa leikkaavien entiteettien yhteiset osat muodostavat aina kompleksisen entiteetin), muttei tehdä mitään oletuksia summien olemassaolosta. Voidaan kysyä, voimmeko olettaessamme niukan vaihtoehdon MM + PA28 enää järkevällä tavalla eksplikoida puhetta ”mereologisista summista”: koska summat eivät ole yksikäsitteisiä summia, analogia matemaattiseen summan käsitteeseen on heikko. Näin ekstensionaalisuutta voidaan perustella halulla olettaa summia/tuloja.

48 Rajoittamaton kompositio
Systeemin EM + PA28 + PA30 olettaminen on näin ollen askel kohti rajoittamattoman komposition olettamista. Voimme myös olettaa rajoittamattomat summat (vrt. Simons 1987: 34) ja taata universumin olemassaolon erillisen aksiomien (PA31 ja PA32) avulla: PA31. z (z = (x + y)) (the Binary Sum Principle) PA32. xy(y < x)) Systeemi EM + PA30 + PA31+ PA32 on yhtä vahva kuin klassinen ekstensionaalinen mereologia (CEM), jos rajoitumme äärelliseen määrään yksilöitä (”äärelliset mallit”).

49 Yleiset summat ja tulot
Yleisten summien (general sums) ja tulojen (general products) olemassaolo pitää olettaa erillisten aksiomiskeemojen, jotka käyvät läpi kaikki kielen kaavat φ, avulla. Ideana näissä aksiomiskeemoissa on spesifioida se yksilöjoukko, joista summa tai tulo otetaan, jonkin kaavan φy toteuttaviksi yksilöiksi. Koska samalla käydään läpi kaikki kielen kaavat, voidaan (oletettavasti) spesifioida mielivaltainen numeroituva yksilöjoukko. Lisäksi kaava ψx spesifioi ehdon, jonka summan tai tulon muodostavien entiteettien pitää täyttää. Esimerkiksi tulojen kohdalla on luonteva vaatia, että kaikkien tarkasteltavien φ- entiteettien on mereologisesti leikattavia toisiaan.

50 Yleiset summat ja tulot
Yleiset summat ja tulot oletetaan aksiomiskeemojen PA28’, PA30’ ja PA31’ avulla: Summat PA28’ xφx Λ x(φx → ψx) → zw(((z ○ w) ↔ v(φv Λ (v ○ w)))) Tulot PA30’ xφx Λ x(φx → ψx) → zw((w < z) ↔ (yφy → (w < y)))) Rajoittamattomat Summat PA31’ xφx → zw(((z ○ w) ↔ v(φv Λ (v ○ w)))) Systeemi EM + PA30’ + PA31’ on klassinen ekstensionaalinen mereologia (CEM). PA31 seuraa skeemasta PA31’ erikoistapauksena samoin kuin PA30 skeemasta PA30’.

51 Viitteet Armstrong, D. M. (1997): A World of States of Affairs, Cambridge, CUP. Johansson, I (2004): ”On the Transitivity of Parthood Relations”, in H. Hochberg & K.Mulligan (eds.). Relations and Predicates, Frankfurt, Ontos, pp Leonard, H. & Goodman, N. (1940): ”The Calculus of Individuals Its Uses”, Journal of Symbolic Logic 5, Leśniewski, S. (1916): Podstawy ogólnej teryi mnogosci, MOCKBA. Lewis, D.K. (1986): On the Plurality of Worlds, Oxford, Basil Blackwell. Lewis, D.K: (1991): Parts and Classes, Oxford, Basil Blackwell. Lowe, E.J. (1998): The Possibility of Metaphysics, Oxford, OUP. Lowe, E.J. (2009): More Kinds of Being, Oxford, Wiley-Blackwell. Moltmann, F. (1997): Parts and Wholes in Semantics, Oxford, OUP. Rescher, N. (1955): ”Axioms for Part Relation”, Philosopjhical Studies 6, 8-11. Simons (1987): Parts – A Study in Ontology, Oxford, OUP. Varzi, A. (2008): ”The Extensionality of Parthood and Composition”, Philosophical Quarterly 58, Varzi, A. (2011): ”Mereology”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = < Wiggins, D. (2001): Sameness and Substance Revisited, 51


Lataa ppt "Mereologia ja sen soveltaminen"

Samankaltaiset esitykset


Iklan oleh Google