Kausaaliverkot ja todennäköisyyslaskennan kertaus Sivut 3-17

Esitys aiheesta: "Kausaaliverkot ja todennäköisyyslaskennan kertaus Sivut 3-17"— Esityksen transkriptio:

1 Kausaaliverkot ja todennäköisyyslaskennan kertaus Sivut 3-17
Juuso Liesiö

2 Sisältö Päättely epävarmuuden vallitessa Kausaaliverkot
Erilaiset kytkennät, evidenssin välittyminen d-erotuksen käsite Todennäköisyyslaskennan kertaus Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Ehdollinen riippumattomuus Potentiaalit

3 Päättely epävarmuuden vallitessa
Esim. Auton käynnistymisen epävarmuus Kuinka todennäköisesti auto käynnistyy? Käynnistymiseen vaikuttavat polttoaineen määrä ja sytytystulppien puhtaus ja ne ovat epävarmoja Toisaalta näyttääkö polttoainemittari oikein? Jos totean mittarin näyttävän tankin olevan täynnä, onko käynnistymisen epävarmuus muuttunut? Jos auto ei käynnistynyt ja mittari näyttää tankin olevan täynnä, muuttuuko sytytystulppien puhtauteen liittyvä epävarmuus

4 Päättely epävarmuuden vallitessa
Ongelmamme sisältää Tilaltaan epävarmat muuttujat Muuttujien mahdolliset tilat Kausaalisuhteet (syy-seuraussuhteet) Tämä on kausaaliverkko! Polttoainetta? {kyllä, ei} Puhtaat sytytystulpat {kyllä, ei} Käynnistyykö? Mittarin asento {0%,50%,100%}

5 Kausaaliverkot (1/2) Kausaaliverkko on suunnattu verkko
Solmut kuvaavat muuttujia Muuttujalla äärellinen määrä mahdollisia tiloja Tila yksikäsitteinen, mutta epävarma Kaaret kuvaavat kausaalisuhteita Käyttö: Vaikuttaako epävarmuuden muutos yhden muuttujan tilasta toisen muuttujan tilojen epävarmuuteen? Ei kiinnitetä epävarmuuden laskennallista mallia

6 Kausaaliverkot (2/2) Muuttujien suhteista
C B D Muuttujien suhteista B on A:n lapsi A on B:n vanhempi Lapset ja vanhemmat ovat naapureita B, C ja D ovat A:n jälkeläisiä Epävarmuus muuttujien tilasta Evidenssi: tietoa tilojen epävarmuudesta Kova evidenssi  tila tunnetaan, tila ilmentynyt Pehmeä evidenssi  tilan epävarmuus muuttuu

7 Sarjakytkentä Evidenssi voi välittyä sarjakytkennän läpi (kumpaankin suuntaa), ellei kytkennässä olevan muuttujan V tila ole tunnettu (ilmentynyt) Flussa lisää pahoinvoinnin todennäköisyyttä, mikä puolestaan lisää kalpeuden todennäköisyyttä Jos ihminen voi pahoin, ei tieto flunssasta muuta kalpeuden todennäköisyyttä A B V Pahoinvointi Flunssa Kalpeus

8 Haarautuva kytkentä Evidenssi voi välittyä lapsien välillä ellei haarassa olevan muuttujan V tila ole tunnettu (ilmentynyt) Pitkä ihminen on todennäköisesti mies ja miehillä on todennäköisesti on lyhyet hiukset Jos tiedät että kyseessä on mies, ei tieto pituudesta vaikuta hiustenpituuteen liittyvään epävarmuuteen V C B E ... Sukupuoli Hiusten pituus Pituus

9 Yhdistyvä kytkentä C B E ... Evidenssi välittyy vanhempien välillä vain jos jälkeläisten ( ) tilasta on evidenssiä (muuta kuin vanhemmista johdettua informaatiota) Sekä salmonella että flunssa voivat aiheuttavaa paihoinvointia, eikä tieto flunsasta muuta salmonellan epävarmuutta Jos henkilö todetaan kalpeaksi, tieto että flunssaa ei ole nostaa salmonellan todennäköisyyttä Salmonella Pahoinvointi Flunssa Kalpeus

10 D-erotus (1/5) Määritelmä: d-erotus (direction dependent criterion of connectivity) Kaksi muuttujaa A ja B ovat d-erotetut jos kaikilla poluilla A:sta B:hen löytyy muuttuja V s.e. 1) kytkentä on sarjakytkentä tai haarautuva kytkentä ja V on ilmentynyt 2) tai kytkentä on yhdistyvä ja V tai sen jälkeläiset eivät ole saaneet evidenssiä A B V ... A B ... V A B ...

11 D-erotus (2/5) Väite: Jos A ja B ovat d-erotettuja, niin epävarmuuden muutos A:ssa ei vaikuta B:n epävarmuuteen Ilman tietoa auton käynnistymisestä, tieto sytytys-tulppien puhtaudesta ei vaikuta polttoaineen olemassaolon tai mittarin asentoon liittyvään epävarmuuteen Polttoainetta? {kyllä,ei} Puhtaat sytytystulpat {KYLLÄ, ei} Käynnistyykö? {ei,kyllä} Mittarin asento {0%,50%,100%}

12 D-erotus (3/5) Kun e on kova evidenssi, F on d-erotettu A:sta E:stä
D:n kautta sarjakytkentä, D ilmentynyt B:n kautta sarjakytkentä, B ilmentynyt E:stä B:n kautta haarutuva kytkentä, B ilmentynyt G:stä D:n kautta haarautuva kytkentä, D ilmentynyt

13 D-erotus (4/5) Kun e on kova evidenssi, A on d-erotettu ainoastaan G:sta: Evidenssi A:sta välittyy polkua A-D-H-K-I-E-C-F-J-L

14 D-erotus (5/5) Kun e on kova evidenssi E ei ole d-erotettu F:stä, B:stä tai A:sta Evidenssi välittyy polkua E-H-F-B-D-A E on siis d-yhdistetty F:n, B:n ja A:n kanssa, vaikka kaikki E:n naapurit ilmentyneet

15 Markov-peite (1/2) Määritelmä: Markov-peite Huomio
Muuttujan A Markov-peitteeseen kuuluvat A:n vanhemmat ja lapset sekä lasten muut vanhemmat Huomio Jos A:n Markov-peitteen kaikki muuttujat ilmentyneet, niin A on d-erotettu muusta verkosta

16 Markov-peite (2/2) Punaisella E:n Markov-peite, jonka kaikki muuttujat ovat ilmentyneet Nyt E on d-erotettu A:sta ja B:stä, koska kaikilla poluilla on sarjakytkennässä ilmentynyt muuttuja Siis muuttujat C, D ja F

17 Tapahtumat ja todennäköisyys
Tapahtuman a todennäköisyys P(a) i) Tapahtuma a on varma, jos P(a)=1 ii) Jos tapahtumat a ja b ovat toisensa poissulkevia eli niin Ehdollinen todennäköisyys a:n todennäköisyys jos b on tapahtunut on x Merkintä P(a|b)=x Huom! Merkintä olettaa että kaikki muut tapahtumat ovat epäoleellisia a:lle

18 Perussääntö ja Bayesin kaava
Todennäköisyyslaskun perussääntö , missä P(a,b) on todennäköisyys että tapahtuu a ja b Ehdollistaminen tapahtuman c suhteen Bayesin kaava Perussäännöstä seuraa , eli Bayesin kaava

19 Likelihood Ehdollinen todennäköisyys P(a|b)
Nimitetään myös “a:n likelihood ehdolla b” ja merkitään L(a|b) Esim eri skenaarioita joilla vaikutus a:n tapahtumiseen ja tiedetään että a on tapahtunut. Kuinka todennäköistä on, että on a:n syy kun ?

20 Satunnaismuuttujat (1/4)
Satunnaismuuttuja A Mahdolliset (toistensa poissulkevat) tilat A:n Todennäköisyys jakauma yli tilojen Todennäköisyys sille, että Kun on selvä mihin satunnaismuuttujaan viitataan, merkitään

21 Satunnaismuuttujat (2/4)
Olkoon B satunnaismuuttuja, jolla tilat P(A,B) on n kertaa m taulukko, jossa alkioina todennäköisyydet P(A|B) on n kertaa m taulukko, jossa alkioina todennäköisyydet Taulukoilla laskeminen Merkitään Lasketaan

22 Satunnaismuuttujat (3/4)
Marginalisointi P(A,B):n avulla voidaan laskea reunajakauma P(A) Tapahtumat toistensa poissulkevia, joten ii)-aksiooman perusteella Merkintä

23 Satunnaismuuttujat (4/4)

24 Ehdollinen riippumattomuus (1/2)
Ajatellaan sarjaan kytkentää Jos tiedetään ei tieto C:stä vaikuta A:n epävarmuuteen Muuttuja A ja C ovat riippumattomat annettuna muuttuja B Todennäköisyyksillä asia ilmaistaan Merkitään , vaikka taulukot ovat eri dimensiota A C B

25 Ehdollinen riippumattomuus (2/2)
Ehdollinen riippumattomuus on symmetrinen Jos pätee niin käyttämällä Bayesin kaavaa Seuraus Jos pätee , niin A C B

26 Potentiaalit Todennäköisyystaulukoita nimitetään yleisemmin potentiaaleiksi Esim , jolloin potentiaalin määrittelyjoukko on Näitä voidaan kertoa ja marginalisoida, kuten edellä nähtiin Tuloksena uusi potentiaali Kertomisella ja marginalisoinnilla tärkeitä ominaisuuksia

27 Potentiaalien kertominen
Olkoon A ja B satunnaismuuttujia Alkioittain pätee Olkoon A, B ja C satunnaismuuttujia

28 Potentiaalien marginalisointi (1/4)
iv) Yksikköpotentiaalille 1 pätee Marginalisointi Merkintä eli “summataan yli A:n” Mariginalisointi järjestys on vaihdettavissa Esim.

29 Potentiaalien marginalisointi (2/4)
Marginalisointia C:n suhteen ei tarvitse tehdä potentiaaleille, joiden määrittelyalueeseen C ei kuulu Esim.

30 Potentiaalien marginalisointi (3/4)
Ehdollistetun muuttujan marginalisointi tuottaa yksikkö potentiaalin Esim on summa toistensapoisulkevien tapahtumien yli ja toisaalta on varmaa että A saa jonkin arvon, joten

31 Potentiaalien marginalisointi (4/4)
Vaihtoehtoinen merkintä marginalisoinnille V joukko muuttujia, joita “ei summata yli” “Projektoidaan V:lle” Ominaisuudet uudella notaatiolla