Polynomifunktiot MA 02 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys

Esitys aiheesta: "Polynomifunktiot MA 02 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys"— Esityksen transkriptio:

1 Polynomifunktiot MA 02 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys
Käyttäytyminen Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan oppimisesta

2 Ennakkoluulojen ravistelua
Kuka vihaa matematiikkaa? Matikkaa tarvitaan vain koulussa En voi osata matematiikkaa, kun äitikään ei osaa Matematiikan kokeisiin ei voi lukea Matematiikasta ei ole konkreettista hyötyä

3 Lukujoukot Luonnolliset luvut Kokonaisluvut Rationaaliluvut
Irrationaaliluvut Reaaliluvut

4 Etäisyys lukusuoralla
Mitä tarkoittaa luvun itseisarvo? Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta Merkitään |a|

5 Esim.

6 Itseisarvon määritelmä s. 12

7 Ovatko väitteet tosia?

8 1. asteen epäyhtälö Ratkaistaan samalla tavalla kuin normaali ensimmäisen asteen yhtälö, mutta jos jaetaan tai kerrotaan negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön suunta muuttuu Esim. jos epäyhtälö -6 < 12 kerrotaan tai jaetaan luvulla -2, niin kuinka käy?

9 Esim. Ratkaise epäyhtälö

10 Funktio Esim. Jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Muodosta funktio, missä jarrutusmatka s saadaan nopeuden v avulla. s = kv2 Yleensä funktiota merkitään f(x) tai g(x) Esim. funktio f(x) = ,30x voisi ilmoittaa, että auton vuokra maksaa 30e päivä ja 0,30e kilometriltä

11 Funktio Esim. f(x) = 5 + 3x Laske f(10)
Mitkä ovat funktion nollakohdat? Laske milloin f(x) = 5 +3x = 0 Miten piirrän funktion kuvaajan? (Laskimella ja ilman) Miten kuvaajasta näkee funktion nollakohdat? nollakohdat ovat kuvaajassa x-akselin leikkauspisteitä

12 Funktion kuvaaja

13 Funktion määrittelyjoukko
Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä x:n arvoja, joita funktioon voidaan syöttää Esim. f(x) = 5 + 3x on määritelty kaikilla x:n arvoilla eli määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko

14 Funktion määrittelyjoukko
Esim. Laske funktion määrittelyjoukko Piirrä kuvaaja Laske funktion nollakohta

15 Polynomilaskennan kertaus ja täydennys
Esim. 4. asteen polynomi Yleisesti ottaen kaikki polynomifunktiot ovat määritelty kaikilla reaaliluvuilla

16 1. asteen polynomi on suora y = kx + b
Milloin suora on nouseva kun kulmakerroin k>0 Milloin suora on laskeva kun kulmakerroin k<0

17 Polynomien summa ja erotus
Kertaa s

18 Polynomien tulo Esim.

19 Yhteisen tekijän ottaminen
Jotta yhtälön ratkaisu tai supistaminen onnistuu, niin polynomeista monesti halutaan etsiä yhteisiä tekijöitä Esim. Etsi yhteiset tekijät

20 Polynomien jakolasku Vaatii monesti yhteisen tekijän ottamisen Esim.

21 Polynomien tulo Jokaiselle termillä kerrotaan jokainen kerrottava.
Esim.

22 Summan ja erotuksen tulo

23 Esim.

24 Esim. Tekijöihin jako Jaa tekijöihin ja supista

25 Summan neliö

26 Esim.

27 Erotuksen neliö

28 Esim.

29 Muistikaavat

30 Neliöksi täydentäminen
Pyritään saamaan muistikaava lisäämällä jokin sopiva termi Esim.

31 2. asteen funktio ja yhtälö
f(x) = ax2 + bx +c Kuvaaja paraabeli Kuvaaja symmetrinen huipun suhteen Nollakohdat ovat x-akselin leikkauspisteitä Nollakohdat Huippu

32 Paraabelin aukeamissuunta
f(x) = ax2 + bx +c Kun a > 0, niin paraabeli aukeaa ylöspäin

33 Paraabelin aukeamissuunta
f(x) = ax2 + bx +c Kun a < 0, niin paraabeli aukeaa alaspäin

34 Esim. Piirrä funktio f(x) = f(x) = x2 - x - 2
Mitkä ovat funktion nollakohdat? Missä pisteessä on kuvaajan huippu? Piirrä myös laskimella, jos moinen laskin on ja tarkista laskimesta samat asiat

35 2. asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä
ax2 + bx +c Ratkaisuja eli nollakohtia eli juuria voi olla kaksi yksi ei yhtään

36 Esim. Ratkaise yhtälö

37 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
ax2 + bx +c = 0

38 Esim. Ratkaise yhtälö

39 Sovelluksia Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kun jana jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. Lue lisää:

40 Esim. Kirjan tai rakennuksien muoto noudattaa likipitäen kultaisen leikkauksen ideaa. Navan korkeus antiikin kreikan kauneusihanteen mukaan

41 2. asteen epäyhtälö Milloin vuorokauden lämpötila on korkeampi kuin 0 astetta. Entäs pakkasen puolella.

42 Esim.

43 Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä
2. asteen yhtälöllä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään ratkaisua.

44 Ratkaisujen lukumäärä nähdään ratkaisukaavan diskriminantista
Kun D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua Kun D=0, niin yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu Kun D<0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua.

45 Tulon nollasääntö Esim. ratkaise yhtälö 2x2 + 2x = 0

46 Tulon nollasääntö Esim. Ratkaise yhtälö (x - 2)4(6x +2)(x-3)=0

47 Korkeamman asteen yhtälöt
Esim.

48 Korkeamman asteen epäyhtälöt
Piirrä kuvaaja, jos mahdollista. (Laskimella). Ratkaise korkeamman asteen nollakohdat Tee ns. merkkikaavio Katso merkkikaaviosta (ja tarkasta kuvaajasta) epäyhtälön ratkaisut Esim.

49 Nollakohtien ja tekijöiden yhteys